Предисловие

Предлагаемая вашему вниманию книга написана по материалам лекций для младшекурсников, которые читались авторами в разные годы на механико-математи- ческом факультете МГУ. (В эту же серию входят книги «Начала теории множеств» и «Языки и исчисления».)

Теория вычислимых (с помощью компьютеров) функций появилась в 1930-е годы, когда никаких компьютеров ещё не было. Первые компьютеры были разработаны в 1940-х годах, и среди их разработчиков был английский математик Алан Тьюринг, один из создателей теории вычислимых функций. В 1936 году он описал абстрактные машины, которые теперь называют машинами Тьюринга, и можно полагать, что идея хранимой в памяти компьютера программы была подсказана доказательством теоремы о существовании универсальной машины Тьюринга.

Уже поэтому основные понятия теории вычислимости (или, как говорят, общей теории алгоритмов) достойны внимания математиков и программистов. Но эта теория имеет и более широкий культурный аспект. Один из её основателей, американский математик Эмиль Пост, писал в 1944 году, что «формулировка этого понятия [вычислимости] может сыграть в истории дискретной математики роль, уступающую по значению лишь формулировке понятия натурального числа».

Пожалуй, сейчас это высказывание Поста выглядит преувеличением: за последние десятилетия стало ясно, что различие между быстро и долго решаемыми задачами не менее философски важно, чем различие между алгоритмически разрешимыми и неразрешимыми, и теория сложности вычислений стала одной из центральных в логике (и вообще в математике).

Мы сознательно не касаемся теории сложности вычислений | это большая и отдельная тема. Вместо этого

мы попытались отобрать центральные понятия и факты общей теории алгоритмов и изложить их понятно, стараясь не заслонять простые общие идеи техническими деталями. Мы не предполагаем никаких специальных предварительных знаний, хотя рассчитываем на некоторый уровень математической культуры (и не объясняем, скажем, что такое множество, функция или действительное число).

Надеемся, что первое знакомство с теорией алгоритмов доставит удовольствие. Для тех, кто захочет продолжить знакомство с этой теорией (являющейся центральной частью математической логики), мы указываем на с. 179 некоторые изданные на русском языке книги.

Авторы пользуются случаем поблагодарить своего учителя, Владимира Андреевича Успенского, лекции, тексты и высказывания которого повлияли на них (и на содержание этой книги), вероятно, даже в большей степени, чем авторы это осознают.

При подготовке текста использованы записи А. Евфимьевского и А. Ромащенко (который также прочёл предварительный вариант книги и нашёл там немало ошибок).

Оригинал-макет первого издания книги подготовлен В. В. Шуваловым; без его настойчивости (вплоть до готовности разделить ответственность за ошибки) ориги-

нал-макет вряд ли появился бы к какому-либо сроку.

Авторы признательны Ecole Normale Superieure de Lyon (Франция) за поддержку и гостеприимство во время написания этой книги.

Первое издание книги стало возможным благодаря Российскому фонду фундаментальных исследований, а также И. В. Ященко, который уговорил авторов подать туда заявку. Во втором издании исправлены замеченные опечатки (увы, многочисленные) и добавлено несколько задач. Третье издание печатается без изменений (не считая этой фразы, выходных данных и дополнений в именном указателе).

Просим сообщать о всех ошибках и опечатках авторам (электронные адреса ver at mccme dot ru, nikolay dot vereshchagin at gmail dot com; shen at mccme dot ru, alexander dot shen at lif dot univ-mrs dot fr; почтовый адрес: Москва, 121002, Большой Власьевский пер., 11, Московский центр непрерывного математического образования).

Наконец, мы благодарим сотрудников, аспирантов и студентов кафедры математической логики мехмата МГУ (отдельная благодарность | М. Р. Пентусу, нашедшему немало опечаток), а также всех участников наших лекций и семинаров и читателей предварительных вариантов этой книги.

Н. К. Верещагин, А. Шень

1.Вычислимые функции, разрешимые

иперечислимые множества

1.1. Вычислимые функции

Функция f с натуральными аргументами и значениями называется вычислимой, если существует алгоритм, её вычисляющий, то есть такой алгоритм A, что

•если f(n) определено для некоторого натурально-

го n, то алгоритм A останавливается на входе n и печатает f(n);

•если f(n) не определено, то алгоритм A не останавливается на входе n.

Несколько замечаний по поводу этого определения: 1. Понятие вычислимости определяется здесь для ча-

стичных функций (областью определения которых является некоторое подмножество натурального ряда). Например, нигде не определённая функция вычислима (в качестве A надо взять программу, которая всегда зацикливается).

2. Можно было бы изменить определение, сказав так: «если f(n) не определено, то либо алгоритм A не останавливается, либо останавливается, но ничего не печатает». На самом деле от этого ничего бы не изменилось (вместо того, чтобы останавливаться, ничего не напечатав, алгоритм может зацикливаться).

3. Входами и выходами алгоритмов могут быть не только натуральные числа, но и двоичные строки (слова в алфавите {0; 1}), пары натуральных чисел, конеч-

ные последовательности слов и вообще любые, как говорят, «конструктивные объекты». Поэтому аналогичным образом можно определить понятие, скажем, вычислимой функции с двумя натуральными аргументами, значениями которой являются рациональные числа.