Вопросы к экзамену по СРМА (2019).
Часть I.
1. Комплексное число, действия с комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа.
2. Понятие области. Стереографическая проекция и бесконечно удаленная точка.
3. Последовательности комплексных чисел. Ограниченная и бесконечно большая последовательности. Предел последовательности комплексных чисел.
4. Функция комплексного переменного. Однозначные и многозначные функции. Предел функции комплексного переменного. Непрерывность функции комплексногопеременного.
5. Определение показательной, логарифмической, степенной, тригонометрических, гиперболических функций комплексного переменного.
6. Определение обратных тригонометрических функций комплексного переменного.
7. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.
8. Понятие аналитичности функции. Необходимое и достаточное условие аналитичности функции.
9. Свойства аналитических функций (формулировки).
10. Аналитичность показательной, степенной, тригонометрических и гиперболических функций.
11. Интеграл по кривой в комплексной плоскости (определение и связь с интегралами 2-го рода).
12. Свойства интеграла по кривой в комплексной плоскости.
13. Теорема Коши для односвязной области.
14. Теорема Коши для многосвязной области.
15. Первообразная аналитической функции комплексного переменного.
16. Интегральная формула Коши (формулировка). Пример.
17. Формула Коши для производных аналитической функции (формулировка). Пример.
18. Сходимость числового ряда. Сумма сходящихся рядов. Критерий Коши сходимости ряда (формулировка).
19. Критерий Коши сходимости ряда (формулировка). Необходимое условие сходимости числового ряда.
20. Расходимость гармонического ряда (доказательство).
21. Абсолютная и условная сходимость. Связь между сходимостью и абсолютной сходимостью. Пример.
22. Первый признак сравнения рядов (формулировка). Пример.
23. Предельный признак сравнения рядов (формулировка). Пример.
24. Признак Даламбера (формулировка). Пример.
25. Радикальный признак Коши (формулировка). Пример.
26. Интегральный признак Коши (формулировка). Пример.
27. Признак Лейбница (формулировка). Пример.
Часть II.
28. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость (на примере геометрическойпрогрессии).
29. Критерий Коши равномерной сходимости рядов.
30. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости рядов.
31. Теорема о непрерывности суммы функционального ряда (доказательство).
32. Теорема Вейерштрасса о рядах аналитических функций (формулировка).
33. Степенные ряды. Теорема Абеля (формулировка).
34. Свойства степенных рядов, следующие из теоремы Абеля. Радиус сходимости и его вычисление (формула Коши-Адамара).
35.
Ряды Тейлора для функций
,
,
,
,
,
.
36. Теорема Тейлора о степенных рядах (формулировка). Примеры.
37.Теорема Лорана (формулировка).
38. Ряд Лорана: правильная и главная части, область сходимости.
39. Изолированные и не изолированные особые точки. Типы изолированных особых точек. Примеры.
40. Поведение функции вблизи устранимой особой точки и вблизи точки типа полюс. Примеры.
41. Поведение функции вблизи существенно особой точки. Пример. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса (формулировка).
42. Понятие вычета в изолированной особой точке. Вычет в устранимой особой точке. Вычисление вычета в существенно особой точке. Примеры.
43. Вычисление вычета в полюсе первого порядка.
44.
Вычисление вычета в полюсе порядка
.
45. Теоремы (основная и вторая) теории вычетов.
46. Ортогональные и ортонормированные системы. Ортогональность тригонометрической системы.
47. Ряд Фурье в действительной форме. Формулы для вычисления коэффициентов.
48. Ряд Фурье в комплексной форме (формулы для коэффициентов).
49. Кусочно-непрерывные и кусочно-гладкие функции. Теоремы о сходимости и равномерной сходимости ряда Фурье для кусочно-гладких функций (формулировки).
50. Понятие оригинала, показатель роста функции.
51. Преобразования Лапласа, теорема о сходимости интеграла (формулировка).
52. Изображение и теорема об аналитичности изображения (формулировка).
53. Свойства преобразования Лапласа (линейность и подобие).
54. Теоремы запаздывания и смещения.
55. Теоремы о дифференцирования (оригинала и изображения).
56. Теоремы об интегрировании (оригинала и изображения).