2) Геометрический смысл

Если функция приближенно равна 1 , то площадь множества равняется мере

Тогда кратный интеграл тоже равен мере (кратный интеграл по области D)

(двойной кратный интеграл по области D)

(тройной кратный интеграл по области D)

4) Предположим , что в каждой точке множества задана неотрицательная функция плотности

Пластина:

Тело:

7. Суммы Дарбу

; D – измеримо; – ограничена на этом мн-ве.

- разбиение; , ; , ;

Верхняя сумма Дарбу:

Нижняя сумма Дарбу:

Суммы Дарбу ЗАВИСЯТ от разбиения и НЕ ЗАВИСЯТ он выбора промежуточных точек .

Свойства (справедливы ограниченной на [a;b]):

1. : ;

|*( )

2. Пусть разбиение получено из дальнейшим разбиением еще одного отрезка, тогда не увеличится, а не уменьшится. Разбиение – продолжение разбиения . ( )

Д-во:

, где

, ; , ;

;

Аналогично доказывается неравенство ; Отсюда, используя неравенство из 1., получаем .

 Определение: Назовём разбиение   продолжением разбиения  , если каждая точка разбиения   является точкой разбиения  . Иначе говоря, разбиение   либо совпадает с разбиением  , либо получено из   добавлением по крайней мере одной новой точки.

3. Для любых разбиений справедливо: ; Д-во: Пусть разбиение является продолжением, как разбиения , так и , тогда:

1. 

2. 

В итоге:

4. Зафиксируем разбиение , тогда , значит – нижний интеграл Дарбу;

значит – верхний интеграл Дарбу;

и такие, что для любых разбиений  отрезка  

8. Критерий существования кратного интеграла.

– множество функций интегрируемых на брусе   .

– разбиение промежутка  .

Чтобы функция f(x) была интегрируема на брусе ( т.е ) необходимо и достаточно, чтобы

.

Числа называют соответственно верхним и нижним интегралами функции . Для произвольной ограниченной на Ω функции нижний и верхний интегралы на Ω существуют.

Докажем важную теорему.

Теорема. Пусть есть измеримое множество ( т.е измеримое в n-мерном смысле по Жордану), на котором определена ограниченная функция .

Тогда следующие утверждения эквивалентны :

1. ;

2. Для всякого найдется такое разбиение , что ;

3. Для всякого найдется такое, что для всех разбиений с диаметрами имеет место неравенство ;

4. Существует интеграл . При этом . нижний и верхний интегралы от на , а нижняя и верхняя интегральные суммы , соответствующие разбиению .

Эту теорему можно перефразировать так : для того, чтобы существовал интеграл от , необходимо и достаточно выполнения одного из услови 1) – 3) . При этом величина интеграла равна .

Док-во. 1) 2) Для всякого найдется такое разбиение , что . Для любого найдутся разбиения такие, что , откуда из 1) следует 2).

т.е Для всякого найдется такое разбиение , что Для всякого найдется такое, что для всех разбиений с диаметрами имеет место неравенство . Это самая нетривиальная часть теоремы часть теоремы, утверждающая, что если для любого найдется зависящее от него разбиение : , для которого , то также найдется такое, что для всех разбиений выполняется неравенство .

Обозначим через объединение всех граничных точек , каково бы не было Оно имеет меру нуль ( измеримы), и потому можно определить фигуру , покрывающую , такую, что . Введем еще новую фигуру , содержащую строго внутри себя , но такую что .

Пусть есть настолько малое положительное число, что расстояние между двумя любыми точками границ и больше, чем . Тем более расстояние любой точки до границы больше, чем до .

Зададим какое-нибудь разбиение , на которое наложено единственное условие, что все его частичные множества имею диаметр . Имеем , где сумма распространена на все частичные множества разбиения , каждое из которых содержит в себе одну из точек . Так как , то все такие и их общая мера не превышает . Поэтому . Сумму запишем в виде кратной суммы , где обозначает сумму слагаемых , соответствующих частичным множествам разбиения , попавшим полностью в частичное множество старого разбиения .

Имеем . Поэтому для всех разбиений с , т.е имеет место 3) Для всякого найдется такое, что для всех разбиений с диаметрами имеет место неравенство .

3) Существует интеграл . При этом . нижний и верхний интегралы от на , а нижняя и верхняя интегральные суммы , соответствующие разбиению .

Пусть имеет место 3).Зададим и подберем так, как указано в 3). Тогда для разбиений ,о которых говорится в 3),

, , и так как выполняется , где любое, то , и , т.е есть интеграл от . Мы доказали 4).

Из 4) следует, что для любого найдутся и разбиение такие, что , при любом выборе .

Таким образом, для любых . Но

Поэтому , откуда . Т.к любое, то . Мы доказали, что из 4) следует 1) .