Добавил:

lightcharm github.com Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Математический анализ

Файл:

fmp__integralnoe_ischislenie_nikitina_o_g_

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.09.2023

Размер:

1.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

В случае, когда интегрирование проводится по замкнутой кривой L, из двух возможных направлений обхода контура положительным считают направление по ходу часовой стрелки. Противоположное направление называют отрицательным.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру в положительном

направлении часто обозначают символом P(x, y)dx Q(x, y)dy .

Отметим, что криволинейный интеграл по замкнутому контуру не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой.

2.3.Вычисление криволинейных интегралов второго рода.

Вычисление криволинейных интегралов второго рода производится путем сведения их к определенным интегралам.

Пусть функция f (x, y) непрерывна на кривой AB.
1). Если кривая AB задана уравнением			y y(x),	a x b, и функция
y(x) непрерывна и имеет непрерывную производную, то
	xB		xB
P(x, y)dx P(x, y(x))dx ,
P(x, y)dx P(x, y(x))dx ,		Q(x, y)dy Q(x, y(x)) y (x)dx ,
AB	xA	AB	xA

	xB	P x, y x Q x, y x y (x) dx .
P x, y dx Q x, y dy		P x, y x Q x, y x y (x) dx .

AB	xA

2). Если кривая АВ задана параметрически уравнениями x=x(t), y=y(t),

t , где функции x=x(t), y=y(t) непрерывно дифференцируемы на интервале (α, β), то

	tB		tB

P(x, y)dx P(x(t), y(t))x (t)dt ,		Q(x, y)dy Q(x(t), y(t)) y (t)dt ,
AB	tA	AB	tA

	tB
P x, y dx Q x, y dy P x t , y t x (t) Q x t , y t y (t) dt .

AB	tA

Пример. Вычислить криволинейный интеграл x 2 ydx x3 dy , L – контур,

		L
ограниченный параболами y2 x;	x2 y .	Направление обхода контура
положительное.

y x

y=x2

1	4	0	2,5
3x		dx x
0		1

Решение. Представим замкнутый контур L

как сумму двух дуг L1	= x2 и L	x	. Тогда
	2

x2 ydx x3dy x2 ydx x3dy x2 ydx x3dy

	x	1		2	x		2		x			3	x	2
		x			x				x				x			dx
	1	0
	1					1		x4 x3 2x dx
						1

						0
1	2,5	1	4			3			0		2,5						x5	1
1	2,5	1	4			3			0		2,5						x5	1
										x			dx		3
2						2											5
	x dx 3 x dx
		0							1									0
		0							1									0

0	x2				x3							dx
	x2			x	x3					x		dx

1
0									1
		2					3		1
	x			x x									dx


1								2			x
	3		2x3,5			0		3			3			6	.
	3		2x3,5			0		3			3			6

	2		7			1		5			7			35
						1

2.4. Формула Грина-Остроградского. (Остроградский Михаил Васильевич (1861-1862) – русский математик, академик Петербургской

Академии наук, Джордж Грин (1793 – 1841) – английский математик).
Формула	Грина-Остроградского	устанавливает	связь	между

криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области,

ограниченной этим контуром.

Будем считать, что рассматриваемая область односвязная, т.е. в ней нет

					исключенных участков.
y		y=y2(x)			Пусть функции P x, y и		Q x, y
		y=y2(x)			Пусть функции P x, y и		Q x, y
			x=x2(y)
d x=x1(y)					непрерывны вместе со своими частными
d x=x1(y)		D
					производными в замкнутой	односвязной


					области D, ограниченной	контуром L
c		y=y1(x)			(причем область D является правильной и
c
					в направлении оси Ox и в направлении оси
					Oy). Тогда имеет место формула

	a		b	x
					62
					62

	Q	P
				P(x, y)dx Q(x, y)dy .
		dxdy		P(x, y)dx Q(x, y)dy .
D	x	y	L

Эта формула называется формулой Грина-Остроградского.

Иногда эту формулу называют формулой Грина, однако, Дж. Грин предложил в 1828 году только частный случай формулы.

Пример. Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой Грина-Остроградского.

x2 ydx x3dy x3 'x									x2 y 'y dxdy 3x2						x2 dydx						2x2 dydx
L					D								D								D
											5							7				1
1		x			1			y	x	1						2			x	5		1		2	1		6
								y	x											5

dx				2	dy 2x	2				dx 2(x	2		4					2
			2x				y	y x2				x		)dx 2			x						2					.
			2x				y	y x2				x		)dx 2			x						2					.
0	x2				0					0						7			5			0		7 5			35
																						0
	2.5.				Условие независимости								криволинейного									интеграла				от пути

интегрирования. Говорят, что криволинейный интеграл не зависит от формы пути интегрирования, если он вдоль всех путей, соединяющих начальную и конечную точку, имеет одну и ту же величину.

Пусть функции P x, y и Q x, y непрерывны вместе со своими частными производными в односвязной области D, и контур L целиком лежит в этой области. Для того чтобы криволинейный интеграл

P(x, y)dx Q(x, y)dy

не зависел от формы пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы в области D выполнялось равенство

		P	Q .	(1)
		y	x
y		Если криволинейный интеграл не зависит от
y
	(x,y) C	формы пути интегрирования, то, как правило,
		формы пути интегрирования, то, как правило,
		проще всего за путь интегрирования взять ломаную,
(x0,y0)	B	звенья которой параллельны осям координат. Тогда
A	(x,y0)	звенья которой параллельны осям координат. Тогда
A	(x,y0)
		x, y
0	x	P x, y dx Q x, y dy P x, y dx Q x, y dy
		x0 , y0	AB
			63

P x, y dx Q x, y dy .

Так как на отрезке AB y y0 , то dy 0 , и

P x, y dx Q x, y dy P x, y0 dx .

Аналогично на отрезке BС x const , тогда dx 0 , и

		y
	P x, y dx Q x, y dy Q x, y dy .
	BC	y0
Таким образом,
x, y	x	y
P x, y dx Q x, y dy P x, y0		dx Q x, y dy.
x0 , y0	x0	y0

Отметим, что при выполнении условия (1) интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в области D, равен нулю.

Пример. Вычислить

	y	(2,1)
		(2,1)
		x=2
		y=0
0		2	x
0		2

2,1

x2 y3dx x3 y2 dy .

0,0

Решение. Проверим, выполняется ли условие независимости криволинейного интеграла от формы пути интегрирования. Имеем

P x, y x2 y3 , Q x, y x3 y2 , P 3x2 y2 ,

Q 3x2 y2 . То есть частные производные

непрерывны и равны на всей плоскости. Поэтому, взяв за путь интегрирования ломаную, изображенную на рисунке, получим:

2,1	2	1		y	3	1		8

x2 y3dx x3 y2 dy x2 0dx 8y2dy 8									.

0,0	0	0	3			0	3

2.6. Нахождение функции по ее полному дифференциалу. Пусть
функции P x, y	и Q x, y непрерывны	вместе со	своими частными

производными в односвязной области D и в области D выполняется равенство

P Q .y x

Тогда выражение P x, y dx Q x, y dy является полным дифференциалом некоторой функции u x, y , которую можно найти через криволинейный

интеграл II рода:

x, y

u x, y P x, y dx Q x, y dy C

x0 , y0

				или,	интегрируя		по	ломаной		ACB,	получим
y	D			формулу:
	D		(x,y) B	формулу:
			(x,y) B
						x			y
	(x0,y0)					u x, y P x, y0 dx Q x, y dy C ,
	(x0,y0)		C			x0			y0
			C
	A		(x,y0)	а по ломаной ADC:
				а по ломаной ADC:
0			x			x		y
0						u x, y P x, y dx Q x0 , y dy C .
						u x, y P x, y dx Q x0 , y dy C .
						x0		y0
	2.7. Некоторые приложения криволинейных интегралов по
координатам.
	1.	Работа силы.		Работа по		перемещению материальной точки вдоль
							P x, y ; Q x, y
кривой		BC	под действием силы			F x, y	P x, y ; Q x, y			вычисляется по
формуле:
				A P x, y dx Q x, y dy
					BC
(физический смысл криволинейного интеграла по координатам).
	2. Вычисление площади плоской фигуры. Пусть D – некоторая область с
границей L.			Известно,	что	SD dxdy.		Положим		в	формуле	Грина-
						D
Остроградского P x, y 0; Q x, y x . Тогда							Q	P 1	и
							x	y

SD xdy .

Положив P x, y y , Q x, y 0 , аналогично получим

SD ydx .

Если же возьмем P x, y 2y , Q x, y 2x , то

SD 12 L xdy ydx .

Таким образом, имеются три формулы для вычисления площади плоской фигуры через интеграл по ее границе.

Замечание. Аналогично определяется и вычисляется криволинейный интеграл по координатам от функции трех переменных по пространственной кривой. В частности, если пространственная кривая АВ задана уравнениями x=x(t), y=y(t), z=z(t) ( t ), где функции x=x(t), y=y(t), z=z(t) непрерывно дифференцируемы на интервале (α, β), то

P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz

P x t , y t , z t x (t) Q x t , y t , z t y (t) R x t , y t , z t z (t) dt .

Теоретические вопросы по теме криволинейные интегралы.

1.Понятие криволинейного интеграла по длине дуги. Его геометрический

ифизический смысл.

2.Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги.

3.Отличие в свойствах криволинейного интеграла по длине дуги от определенного интеграла.

4.Понятие криволинейного интеграла по координатам. Его физический

смысл.

5.Вычисление криволинейного интеграла по координатам.

6.Связь между двойным интегралом по области и криволинейным интегралом по границе этой области.

7.Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от

пути интегрирования.

Теоретические задания.

				dx		dy

	1. Написать и проверить формулу Грина для интеграла						, где L
			L		y	x
– контур треугольника с вершинами в точках (1; 1), (2; 1), (2; 2).
	2. Доказать, что величина	интеграла 2xy y dx x2 dy ,				где L –
		L
замкнутый контур, равна площади области, ограниченной этим контуром.
	3. С помощью формулы Грина вычислить разность между интегралами
I1	x y 2 dx x y 2 dy и I2	x y 2 dx x y 2 dy , где AmB – отрезок
	AmB	AnB

прямой, соединяющей точки A(0; 0) и B(1; 1), а AnB – дуга параболы y x2 .

Упражнения.

Вычислить данные криволинейные интегралы по длине дуги:

а)

dl ,

где L –отрезок

прямой y

x 2 , заключенный

между

точками A(0; -2) и B(4; 0);

б)

xydl , где L – контур прямоугольника с вершинами в точках A(0; 0),

B(4; 0), C(4; 2) и D(0; 2);

в) ydl , где L – дуга параболы y2 2x от точки (0; 0) до точки (1;

2 );

x a t sin t ,

г)

2 ydl ,

где

L –

первая

арка

циклоиды

y a 1 cos t a 0 ;

dl , где L – дуга астроиды x cos3 t, y sin 3 t от точки

д)

x 33

(1; 0) до (0; 1);

е)

y2 dl ,

где

–линия,

заданная

уравнением

x2 y2 2 a2 x2 y2 x 0 (половина лемнискаты);

ж)		y	dl , где L – дуга кардиоиды 2 1 cos , 0		;
				2
		x2 y 2
L
з)
	x2 y2 dl , где L – окружность x2 y2 4x .
L

2. Вычислить данные криволинейные интегралы по координатам:

а)	xdy , где L –отрезок прямой		x	y	1, заключенный между точками
а)	xdy , где L –отрезок прямой		a	b	1, заключенный между точками
	L		a	b
	L
(а; 0) и (0;b);
б)	x2	y2 dx , где L – дуга параболы				y x2 от точки (0; 0) до точки
	L

(2;4);

в) x2 y 2 dy , где L – контур прямоугольника, образованного прямыми

x 1, x 3, y 1, y 5 ;

г) x2 y 2 dx x y 2 dy , где L – ломаная ABC, A(2; 0), B(5; 0), C(5; 3);

xy x dx

д)

dy , где L – дуга параболы

y 2 x от точки (0; 0) до

точки (1;2);

е)

где

L –

дуга

окружности x R cost, y R sin t в первой

четверти, пробегаемая против хода часовой стрелки;

ж) 2a y dx xdy ,

где

L – арка

циклоиды

x a t sin t ,

y a 1 cos t 0 t 2 ;

з)

xy ydx xdy

, где L – правый лепесток лемнискаты 2

a2 cos2 .

3. Вычислить криволинейный интеграл, предварительно убедившись, что

он не зависит от формы пути интегрирования:

2,1

1,2

3x2

а)

2xydx x2 dy ;

б)

dy ;

0,0

0,1

1,2

ydx xdy

3,0

в)

;

г)

x4 4xy3 dx 6x2 y2 5y4 dy ;

2,1

2, 1

д)

2,3

;

cos

sin

cos

x x

2,0

2x 1 e y

e y

е)

dy .

1 x

0,1

1 x2

4. Показать, что выражение y 1 cos xy dx x 1 cos xy dy

является полным дифференциалом функции u x, y . Найти функцию u x, y :

а) 3x2 2xy y2 dx x2 2xy 3y2 dy ;

б) e2 y 5y3ex dx 2xe2 y 15y2ex dy ;

в) 12x2 y

4x3

dy ;

г)

x 2 y

dy ;

x y 2

д) 2xcos y y2 sin x dx 2y cos x x2 sin y dy ;

4 1 y 2

4 y

е)

24x2 sin 2 y

16x3 cos 2 y

y dy ;

1 y

1 x

ж)

cos 4x

dy ;

з)

2xex2 y2

sin x dx sin y 2 yex2 y2

dy .

5. Вычислить заданные криволинейные интегралы с помощью формулы Грина-Остроградского. Результат проверить непосредственным вычислением криволинейных интегралов:

а) x y 2 dx x2 y 2 dy , где L – контур треугольника с вершинами в

точках A(1; 1), B(3; 2), C(2; 5);

б) ex 1 cos y dx y sin y dy , где L – контур, ограничивающий область

0 x , 0 y sin x ;

в)

1 x2 ydx x 1 y 2 dy , где L – окружность x2

y2 R2 ;

г)

xy x y dx xy x y dy , где L – окружность x2 y2 2x ;

д)

y x2 dx x y 2 dy , где L – граница кругового сектора радиуса R с

углом 0

6. Вычислить площадь части цилиндрической поверхности:

а)

y2 2x над плоскостью Oxy,

срезанной

сверху

поверхностью

2x 4x2 ;

б)

x2 y2

над плоскостью Oxy,

срезанной

сверху

поверхностью

;

в)

x 1 3

над плоскостью Oxy, срезанной сверху поверхностью

z 2

x ;

г) y 83 x2 , ограниченной плоскостями z 0, x 0, z x, y 6 ;

д) y x2 1 x 2 над плоскостью Oxy, срезанной сверху поверхностью

z x y .

7. Найти массу:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Экзамен

#
30.09.20231.82 Mб33fmp__integralnoe_ischislenie_nikitina_o_g_.pdf
#
30.09.202367.34 Кб29Voprosy_K_Zkzamenu_Po_Ma_2s_2021.docx
#
30.09.20231.8 Mб27Лекции.pdf
#
30.09.20233.77 Кб32Новый PDFXEdit.PDF.pdf
#
30.09.2023797.02 Кб98Ответы.docx
#
30.09.202312.74 Mб29Таблицы.rtf