Добавил:

lightcharm github.com Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Математический анализ

Файл:

fmp__integralnoe_ischislenie_nikitina_o_g_

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.09.2023

Размер:

1.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

когда 1 (x, y)

и 2 (x, y)

неотрицательны, но и тогда, когда 1 (x, y) и

2 (x, y) - любые непрерывные функции, удовлетворяющие соотношению

2 (x, y) 1 (x, y).

3). Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла.

Пусть требуется вычислить площадь поверхности заданной уравнением z f (x, y), где функция f (x, y) непрерывна и имеет непрерывные частные

производные. Обозначим проекцию данной поверхности на плоскость Oxy

через D. Тогда площадь поверхности вычисляется по формуле:

z 2

dxdy

( z f (x, y) )

(1)

Если уравнение

поверхности

дано

в виде x f ( y, z)

или в виде

y f (x, z), то соответствующие формулы для вычисления поверхности имеют

вид:

			x 2	x 2
S						dydz	( x f ( y, z) ),	(1’)
S		1				dydz	( x f ( y, z) ),	(1’)
	D		y		z

S		y 2	y	2		’’
S	1			dxdz ( y f (x, z) ),	(3		)
D		x	z
D

где D’ и D’’ - области на плоскостях Oyz и Oxz соответственно, в которые проектируется данная поверхность.

Пример 1. Вычислить поверхность сферы x2 y2 z2

R2 .

Решение.

Вычислим

поверхность

R2 x2 y2

верхней половины сферы

R2 x2 y 2 . В этом случае

y 2

x2 y 2

Следовательно,

подынтегральная

функция

примет вид:

z 2

y 2

Область интегрирования определяется условием x2 y2 R2 . Таким

образом, на основании формулы (1) будем иметь:

	R
1		R2 x2		R
	S					dy dx.

			2	2	2
2			R x y

	R R2 x2

Для вычисления полученного двойного интеграла перейдём к полярным

координатам. В полярных координатах граница области интегрирования определяется уравнением r R. Следовательно,

	2 R		R			2		R		2
	2 R					2		R		2
		2		2			R2 2
		2		2
S 2					d d 2R				d 2R		Rd 4 R2 .
	0 0	R					0
	0 0	R				0				0

Пример 2. Найти площадь той части поверхности цилиндра x2 y2 a2 ,

которая вырезается цилиндром x2 z 2 a 2 .

Решение. На рисунке изображена

часть искомой

поверхности.

Уравнение

поверхности

имеет вид

; поэтому z

a2 x2

z 2

Область интегрирования определяется условиями x2 y2

Следовательно,


1	a	a2 x2	a			a
1	S		a		dy dx a
8
			2	2
			a x
	0	0	a x			0

представляет собой четверть круга, т.е.

a2 , x 0, y 0.

		a2 x2
		a2 x2
y			a
y			dx a dx a2 S 8a2 .


a2 x2
	0	0
	0	0
22

II. Некоторые физические приложения двойного интеграла.

1). Вычисление массы пластинки. Рассмотрим на плоскости Оху материальную пластинку, то есть некоторую область D, по которой распределена масса m

с плотностью x, y . Разобьем область D на частичные области D 1 ,D 2 , ...,D n с площадями S1 , S 2 ,..., S n

(рис. 16). Выберем в каждой частичной области произвольную точку Pk (xk , yk ) ,

будем считать, что плотность во всех точках частичной области постоянна и равна плотности (xk , yk ) в выбранной точке. Тогда масса k-ой ячейки будет

приближенно равна (xk , yk ) Sk , а масса всей пластинки m (xk , yk ) Sk .

k 1

Эта сумма является интегральной суммой для функции x, y по области D.

Переходя к пределу при условии, что диаметр разбиения области D стремится к

0, получим точное значение массы пластинки:

m (x, y)dxdy (физический смысл двойного интеграла).

2). Статические моменты и центр тяжести пластинки. Если на плоскости Оху дана материальная пластинка D, по которой распределена масса с плотностью x, y , то координаты ее центра тяжести С , пластинки вычисляются по формулам:

	M y	x (x, y)dxdy			M		y (x, y)dxdy
	M y		D	,	M	x	D	,
			D			x	D
			(x, y)dxdy				(x, y)dxdy
	M		(x, y)dxdy		M		(x, y)dxdy
			D				D
где M x y (x, y)dxdy,			M y x (x, y)dxdy			-	статические	моменты
D			D

пластинки относительно осей Ох и Оy соответственно.

Если пластинка однородна, т.е. (x, y) const, то формулы упрощаются:

xdxdy		ydxdy
D	,	D	, где S - площадь пластинки.
S	,	S	, где S - площадь пластинки.
S		S
			23

k 1,n

3). Моменты инерции пластинки. Моменты инерции материальной пластины D, по которой распределена масса с плотностью x, y ,

относительно начала координат и осей координат Ох и Оy вычисляются

соответственно	по	формулам:	Io (x2	y 2 ) x, y dxdy I x I y ,
			D
I x y 2 x, y dxdy,		I y x2 x, y dxdy.
D		D

§2. Тройные интегралы.

Тройной интеграл является аналогом двойного интеграла и вводится для функции трех переменных. Тройные интегралы, как и двойные, имеют широкое

применение в различных геометрических и физических задачах.
2.1. Определение тройного интеграла.			Пусть	функция	f x, y, z
z	определена	в	ограниченной		замкнутой
z
z z 2 (x ,y )	пространственной области Т.
	Разобьём		область	Т произвольным
	образом на	n	элементарных		областей

	T
z z 1(x ,y )		y
a	0
b	D
b
x y y 1	(x )	2 (x )
	y y	2 (x )
	Рис. 1

диаметром разбиения области

T1 ,T2 , ,Tn	с	объемами	V1 , V2 , , Vn	и
диаметрами 1 , 2 , , n			(диаметром	k
области	Тk	называется	наибольшее	из

расстояний между любыми двумя точками границы этой области). Наибольший из диаметров обозначим через . Его называют

Т (то есть max k ). В каждой частичной

ячейке Тk	возьмём	произвольную	точку М k xk , yk , zk и		вычислим	в	ней
значение	функции	f xk , yk , zk .	Умножим	f xk , yk , zk на		объем
соответствующей ячейки Тk и просуммируем все				такие	произведения,		т.е.

n	xk , yk , zk Vk ,
составим сумму f	xk , yk , zk Vk ,	которая	называется	интегральной
k 1
суммой для функции f x, y, z по области Т.
Определение. Если	интегральная	сумма σ	при 0	имеет предел

(этот предел не зависит ни от способа разбиения области Т на частичные ячейки, ни от выбора точек M k ), то он называется тройным интегралом от функции f x, y, z по области Т и обозначается одним из следующих символов

f x, y, z dxdydz или f x, y, z dv .

T	T
Сама	подынтегральная функция f x, y, z при этом называется

интегрируемой по области Т, Т называется областью интегрирования, x, y и z–

переменными интегрирования, dv (или dxdydz) – элементом объема.

Таким образом,

def		n
f x, y, z dxdydz lim		f xk , yk , zk Vk .
T	0 k 1

Свойства тройных и двойных интегралов аналогичны.

2.2. Геометрический и физический смысл тройного интеграла. Если f (x, y, z) 1 в области Т, то тройной интеграл от этой функции равен объёму

области T :

dxdydz VT .

Масса тела переменной плотности x, y, z , занимающего область Т,

вычисляется по формуле:

mT x, y, z dxdydz.

2.3. Вычисление тройного интеграла в прямоугольных координатах.

Как и в случае двойных интегралов, вычисление тройных интегралов сводится к вычислению интегралов меньшей кратности.

Если область T ограничена снизу поверхностью z z1 (x, y) , сверху

поверхностью z z2 (x, y) , с боков цилиндрической поверхностью и область D

является	проекцией тела T	на плоскость	Oxy (см. рис. 1), то для любой
функции	f x, y, z , непрерывной в области T , имеет место формула:
			z2	x, y
	f x, y, z dxdydz dxdy			f x, y, z dz .
	T	D	z1 x, y

В частности, если область D задается неравенствами a x b,

y1 x y y2 x (см. рис. 1), то, переходя от двойного интеграла к повторному,

получим формулу:

	b	y2 ( x) z2	( x, y)
f (x, y, z)dxdydz dx		dy	f (x, y, z)dz .
T	a	y1 ( x) z1 ( x, y)
Таким образом, вычисление	тройного		интеграла по области

производится, посредством трех последовательных интегрирований.

Порядок интегрирования может быть и другим, то есть переменные

можно менять ролями (в зависимости от области T ).

			В частности, если T - параллелепипед с гранями,
z			параллельными координатным плоскостям (рис. 3), то
z
x			пределы	интегрирования	постоянны		во всех трех
					b	d	l
					b	d	l
	c	d	интегралах: f (x, y, z)dxdydz dx dy f (x, y, z)dz.
a

				T	a	c	k
b			y	T	a	c	k
			y
			В	этом случае	интегрирование можно
			В	этом случае	интегрирование можно

x	производить в любом порядке.
	производить в любом порядке.
	Пример. Вычислим тройной интеграл I (x y z)dxdydz, где T -

Рис.2 z

x+y+z=1

	D
	D	y
x		y

	x+y=1

	T
область,	ограниченная	координатными
плоскостями	x 0, y 0, z 0	и плоскостью

x y z 1 (пирамида, изображённая на рис.2).

Решение. Интегрирование по z совершается от z=0 до z 1 x y. Поэтому, обозначая проекцию области T на плоскость Oxy через D,

														1 x y														z	2	1 x y
получим:								I dxdy																(x y)z				z					dxdy

															(x y z)dz													2
											D				0							D						2		0
					2		(1	x y)				2
					2		(1	x y)
	(x y) (x y)												dxdy.
	(x y) (x y)									2			dxdy.
D										2
	Расставим теперь пределы интегрирования по области D - треугольнику,
уравнения сторон которого x 0,													y 0,					x y 1:
1	1 x										(1 x y)					2
I dx									2		(1 x y)
		(x y) (x				y)												dy
		(x y) (x				y)							2					dy
0	0												2
1			2	(x y)		3		(1 x y)						3	1 x			1	1	x	2		1		x	3	(1 x)				3			1
(x y)				(x y)				(1 x y)											1	x			1		x		(1 x)							1
																	dx															dx			.
																	dx															dx			.
0	2			3							6				0			0	2 2 3						3			6						8

2.4. Замена переменных в тройном интеграле. Для тройных интегралов

при переходе от прямоугольных координат к новым системам координат наиболее часто используются цилиндрические и сферические координаты.

При переходе от прямоугольных координат x,

к цилиндрическим

координатам ( , , z) (где

( , ) - полярные координаты точки М′, являющейся

проекцией точки М на плоскость Oxy, z - аппликата

точки М), связанным с x, y, z формулами (см рис.2)

М′

x cos , y sin , z z

( 0 , 0 2 ,

Рис. 2

z )

формула

преобразования

тройного

интеграла имеет вид

f (x, y, z)dxdydz f ( cos , sin , z) d d dz.

В сферической системе координат положение

точки M в пространстве определяется её расстоянием

от

начала

координат

(длина радиуса-вектора

точки), углом между радиусом-вектором точки и

осью

Oz и углом

между проекцией

радиуса-

М′

вектора точки на плоскость Oxy и осью Ox (рис. 3).

Рис. 3

При этом может изменятся то 0 до , а - от 0 до 2 .

Связь между сферическими и декартовыми координатами выражается

формулами

x r sin cos , y r sin sin , z r cos .

Формула преобразования тройного интеграла к сферическим

координатам имеет вид:

f (x, y, z)dxdydz f (r sin cos , r sin sin , r cos )r 2 sin drd d .

T T

Особенно удобно применение сферических координат в случае, когда

область интегрирование Т - шар с центром в начале координат или шаровое

кольцо.

Пример. Вычислим объем шара радиуса R.

Решение.

			2	R	4
V dxdydz r 2 sin drd d sin d d r 2dr						R3.
					3
T	T	0	0	0

2.5. Применение тройных интегралов.

1). Объём тела, занимающего область T , определяется по формуле:

dxdydz VT .

2). Масса тела переменной плотности x, y, z , занимающего область

Т, вычисляется по формуле:

mT x, y, z dxdydz.

3). Координаты центра тяжести тела определяются по формулам:

	x x, y, z dxdydz			y x, y, z dxdydz		z x, y, z dxdydz
	T		,	T	,	T		.
	x, y, z dxdydz		,	x, y, z dxdydz	,			.
	x, y, z dxdydz			x, y, z dxdydz		x, y, z dxdydz
	T			T		T
Величины
M x x x, y, z dxdydz ,		M y y x, y, z dxdydz , M z					z x, y, z dxdydz
T				T			T
				28

называются статическими моментами тела относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy соответственно.

Если тело однородно, т. е. x, y, z const , то формулы упрощаются:

	xdxdydz			ydxdydz		zdxdydz
	T		,	T	,	T		, где V- объём тела.

		V		V		V
4). Моменты инерции тела относительно координатных осей
соответственно равны:
I x ( y 2		z 2 ) dxdydz,		I y (x2	z 2 ) dxdydz,		I z (x2 y 2 ) dxdydz ,
T				T				T

моменты инерции тела относительно координатных плоскостей соответственно равны:

I xy z 2 dxdydz,	I yz x2 dxdydz,	I zx y 2 dxdydz ,
T	T	T

а момент инерции тела относительно начала координат определяется по формуле:

I0 (x2	y 2	z 2 ) dxdydz
T
(где x, y, z - плотность тела).

Пример. Вычислим момент инерции однородного шара радиуса R

относительно начала координат, относительно осей координат и его

кинетическую энергию относительно оси Oz.

В этом случае удобно перейти к сферическим координатам. Будем иметь

(так как шар однородный, то x,		y, z , const ):
I0 (x2		2	R	4 R	5	3
	y 2 z 2 ) dxdydz d d r 2r 2 sin dr						MR2	,
				5
T	0	0	0			5

где m 34 R3 — масса шара.

Так как для сферы моменты инерции относительно осей координат,

очевидно, равны между собой, то, учитывая, что I x I y I z 2I0 , получим

I		I		I			2	MR2	. Моменты инерции тела относительно осей играют
	x		y		z
						5

важную роль при вычислении кинетической энергии тела при его вращении около соответствующей оси. Пусть тело Т вращается около оси Оz с

постоянной угловой скоростью . Найдем кинетическую энергию J z тела. Как известно, кинетическая энергия точки измеряется величиной 12 mv2 , где m-

масса точки, а v - величина ее скорости. Кинетическая энергия системы точек определяется как сумма кинетических энергий отдельных точек, а кинетическая энергия тела - как сумма кинетических энергий всех частей, на которые оно разбито. Это обстоятельство позволяет применить для вычисления кинетической энергии интеграл.

Возьмем какую-нибудь окрестность dv точки Р(х, у, z) тела T . Величина

линейной скорости v

точки Р при вращении около оси Оz равна

x2 y 2 , и

значит, кинетическая энергия части dv тела T выразится так:

(P)dv 2(x2 y 2 ),

где (P) (x, y, z) - плотность тела в точке Р. Тогда

кинетическая энергия всего тела будет равна

2 (x2 y2 ) (P)dv

(x2 y2 ) (P)dxdydz, т.е. К

2 I .

Теоретические вопросы по теме двойные и тройные интегралы.

1.Понятие двойного и тройного интеграла. Их геометрический и

физический смысл.

2.Основные свойства интегралов. Теорема о среднем.

3.Вычисление двойных и тройных интегралов.

4.Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам.

5.Цилиндрические и сферические координаты при вычислении тройных интегралов.

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Экзамен

#
30.09.20231.82 Mб33fmp__integralnoe_ischislenie_nikitina_o_g_.pdf
#
30.09.202367.34 Кб29Voprosy_K_Zkzamenu_Po_Ma_2s_2021.docx
#
30.09.20231.8 Mб27Лекции.pdf
#
30.09.20233.77 Кб32Новый PDFXEdit.PDF.pdf
#
30.09.2023797.02 Кб98Ответы.docx
#
30.09.202312.74 Mб29Таблицы.rtf