МатЛаб основы математического анализа / Теория / ОМА_Олейник / КПрОМА Практикум 9

Практикум 9. Формула Тейлора

Цель работы – научиться приближенно находить значения функции в окрестности точек с помощью многочленов Тейлора.

Продолжительность работы - 2 часа.

Оборудование – работа выполняется в компьютерном классе с использованием пакета MATLAB.

Порядок выполнения

1. Знакомство со справочным материалом по математике

2. Знакомство со справочным материалом по пакету MATLAB.

3. Изучение примеров.

4. Самостоятельное выполнение упражнений. При выполнении упражнений в случае сообщения системы об ошибке рекомендуется найти и исправить ошибку самостоятельно; однако, если после многократных попыток сделать это не удается, то можно и нужно проконсультироваться с преподавателем.

P.S. Отчитываться перед преподавателем о выполнении упражнений не нужно. Однако, следует учесть, что их выполнение – залог успешного написания контрольной работы по модулю, поскольку контрольная работа составлена из аналогов упражнений.

Справочный материал по математике

Формула Тейлора

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , имеет в этой окрестности производные до -го порядка включительно, и пусть существует . Тогда

.

Эта формула называется формулой Тейлора -го порядка для функции в окрестности точки с остаточным членом в форме Пеано.

Многочлен

называется многочленом Тейлора -го порядка функции в точке , а слагаемое - остаточным членом в форме Пеано.

При значениях достаточно близких к значения функции приближенно равны соответствующим значениям многочлена:

при .

Это приближенное равенство тем точнее, чем больше и чем ближе значение к .

Справочный материал по пакету MATLAB

До сих пор мы рассматривали численные операции, т.е. операции, которые сводились к вычислению значений выражений, содержащих числа или переменные с присвоенными им числовыми значениями. Рассмотрим возможность выполнения символьных операций – математических действий с выражениями, содержащими переменные, у которых нет определенных числовых (такие переменные называются символьными). В результате таких операций получаются математические выражения, также содержащие символьные переменные. Эти выражения будем называть символьными. Символьные переменные и символьные выражения будем называть символьными объектами.

1. Создание символьных переменных

Одну символьную переменную можно создать командой sym следующим образом:

имя переменной = sym ('символьная переменная')

>> a=sym('a')

a =

a

В примере символьная переменная и ее имя одинаковы. Но можно сделать их разными:

>> b=sym('x')

b =

x

Несколько символьных переменных можно создать одной командой syms следующим образом:

syms var1 var2 var3

>> syms b c

Переменные, которые создает команда syms, не выводятся на экран автоматически, даже при отсутствии точки запятой в конце.

2. Создание символьных выражений

1-й способ

>> f=sym('5*x^2+4*x+3*x+2')

f =

5*x^2 + 7*x + 2

2-й способ

Как только созданы символьные переменные, их можно использовать для создания символьных выражений.

>> syms a x

>> f=a*2+x^3+3*x

f =

x^3 + 3*x + 2*a

Еще один пример:

>> g=sqrt(4*x)

g =

2*x^(1/2)

Обратите внимание: когда вводится символьное выражение, содержащее операции, которые могут быть выполнены (сложение, вычитание, деление, извлечение корня, приведение подобных слагаемых и т.п.), MATLAB выполняет эти операции при создании выражения. При этом все вычисления выполняются точно, без численного приближения.

>> syms c

>> g=c/2+c/3+1/7+3/8

g =

(5*c)/6 + 29/56

Важное о символьных выражениях. Символьные выражения могут включать числовые переменные, которые были получены при выполнении числовых выражений. Когда эти переменные входят в символьные выражения, то используется их значения, хранящиеся в памяти компьютера.

3. Символьное дифференцирование

Символьное дифференцирование может быть выполнено с помощью команды diff. Форматы этой команды:

diff(S) или diff(S,var)

Во втором случае дифференцирование выполняется по переменной var.

Пример использования первого формата:

>> f=sym('5*x^2+4*x+3*x+2')

f =

5*x^2 + 7*x + 2

>> diff(f)

ans =

10*x + 7

Пример использования второго формата:

>> syms x a

>> f=a*x^3

f =

a*x^3

>> diff(f,x)

ans =

3*a*x^2

4. Численные расчеты с символьными выражениями.

Положим, нам надо заменить числами некоторые символьные переменные и вычислить соответствующее численное значение выражения. Это можно сделать при помощи команды subs.

Подстановка числового значения вместо одной символьной переменной осуществляется с помощью следующего формата команды subs:

R = subs (S, var, number)
	Имя символьного выражения	Переменная, вместо которой подставляется числовое значение	Числовое значение (или значения), присваиваемое var

Параметр number может быть одним числом, или массивом со многими элементами. Значение S вычисляется для каждого значения number, и результат присваивается R, который бет иметь тот же самый размер, что и number.

Если символьное выражение S имеет одну переменную, то результат R будет числом. Если несколько – символьным выражением.

Набираем: syms x a S=a*sin(x) S1=subs(S,a,2) Получаем: S = a*sin(x) s1 = 2*sin(x)

Набираем: syms y S=y^2 s2=subs(S,y,2) Получаем: S = y^2 s2 = 4

Подстановка числовых значений вместо двух или более символьных переменных осуществляется с помощью следующего формата команды subs:

R = subs (S, {var1,var2}, {number1, number2})
	Имя символьного выражения	Переменные, вместо которых подставляются числовые значения	Числовые значения (или массивы), присваиваемые var1 и var2

Если по крайней мере для одной переменной подставляется числовой массив, то математические операции выполняются поэлементно и результат есть массив чисел. Причем вычисления выполняются поэлементно даже тогда, когда при создании S не использовались поэлементные операции. При этом важно, чтобы все массивы, которыми заменяют символьные переменные, были одинакового размера.

Набираем: clc clear syms x y f=x*y R=subs(f,{x,y},{[1,2,3],[0, 4, 8]})

Получаем: f = x*y R = 0 8 24

Упражнения

Упражнение 1

1) Постройте в одной системе координат график функции (см. п. а) и б)) и график многочленов Тейлора этой функции в точке для .

2) Рассчитайте разности между численными значениями функции и значениями многочленов при . Результат представьте в виде таблицы, в первой строке которой разместите указанные значения , во второй – соответствующие им значения , в остальных строках – модули разностей значений функции и многочленов при указанных значениях ).

а) б)

Упражнение 2

Постройте в одной системе координат график функции и график многочленов Тейлора этой функции в точке для .

а) , б) ,

Список литературы и информационных ресурсов

1. Сборник задач по математике для втузов [Текст]: Учеб. пособие для втузов: В 4-х ч. Ч. 2: [Введение в анализ; Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной; Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; Кратные интегралы; Дифференциальные уравнения] / Под ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2009.

2. В.Г.Потемкин "Введение в Matlab" (v 5.3) http://matlab.exponenta.ru

3. Мещеряков В.В. Задачи по математике с MATLAB&SIMULINK – М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2007

4. Амос Гилат. MATLAB. Теория и практика. 5-е изд./ Пер. с англ. Смоленцев Н.К. – М.:ДМК Пресс, 2016.

5. http://matlab.exponenta.ru

5