МатЛаб основы математического анализа / Теория / ОМА_Олейник / КПрОМА Практикум 8
.pdf
Практикум 8. Производная функции и ее геометрический смысл
Цель работы – приобрести опыт решения задач с использованием геометрического смысла производной.
Продолжительность работы - 2 часа.
Оборудование – работа выполняется в компьютерном классе с использованием пакета MATLAB.
Порядок выполнения
1.Знакомство со справочным материалом по математике
2.Знакомство со справочным материалом по пакету MATLAB.
3.Изучение примеров.
4.Самостоятельное выполнение упражнений. При выполнении упражнений в случае сообщения системы об ошибке рекомендуется найти и исправить ошибку самостоятельно; однако, если после многократных попыток сделать
это не удается, то можно и нужно проконсультироваться с преподавателем.
P.S. Отчитываться перед преподавателем о выполнении упражнений не нужно. Однако, следует учесть, что их выполнение – залог успешного написания контрольной работы по модулю, поскольку контрольная работа составлена из аналогов упражнений.
Справочный материал по математике
1. Определение производной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если для функции |
y = f (x) |
в фиксированной точке |
x0 , |
существует |
предел |
||||||||||||
отношения приращения функции |
f (x0 + x) − f (x0 ) |
к приращению аргумента |
x при |
||||||||||||||
условии x → 0 , то этот предел называется значением производной функции |
|
y = f (x) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в точке x0 . Этот предел обозначают одним из следующих символов |
f ( x0 ) , f |
x=x . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Таким образом, |
f (x ) = lim |
f (x0 + x) − f (x0 ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Геометрический смысл производной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Рассмотрим кривую – график функции |
y = f (x) . Пусть точка |
A(x0 , y0 ) |
лежит на |
||||||||||||||
кривой (это имеет место, |
если y0 |
= f ( x0 ) ). Рассмотрим прямую, проходящую через |
|||||||||||||||
точку |
A(x0 , f (x0 )) и точку B(x0 + x, f (x0 + x)) , также лежащую на кривой. |
Такая |
|||||||||||||||
прямая называется секущей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Любая прямая, |
проходящая |
через |
точку |
A(x0 , f (x0 )) , |
имеет |
уравнение |
|||||||||||
y − f (x0 ) = k(x − x0 ) . |
Если она также проходит через точку |
B(x0 + x, f (x0 + x)) , то |
|||||||||||||||
выполняется |
равенство |
|
f (x0 + x) − f (x0 ) = k((x0 + x) − x0 ) , |
|
|
или |
|||||||||||
f (x + |
x) − f (x ) = k x , |
откуда |
k = |
f (x0 + x) − f (x0 ) |
. Таким образом, |
уравнение |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
секущей имеет вид y − f (x ) = |
f (x0 + x) − f (x0 ) |
(x − x ) . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
Если |
точка |
B(x0 + x, f (x0 + x)) близко расположена к точке A(x0 , f (x0 )) , то |
||
значение |
k = |
f (x0 + x) − f (x0 ) |
углового коэффициента секущей близко к значению |
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
f ( x0 ) производной функции y = f (x) . |
||||
Если точку B(x0 + x, f (x0 + x)) сдвигать к точке A(x0 , f (x0 )) все ближе и ближе, то секущая будет стремиться занять предельное положение. Приближению точки B(x0 + x, f (x0 + x)) к точке A(x0 , f (x0 )) соответствует стремление x к нулю. Если
x → 0 , то k = |
f (x0 + x) − f (x0 ) |
→ f (x ) . Таким образом, предельное уравнение |
|
||
|
x |
0 |
|
|
секущей задается уравнением y − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 ) .
Прямая, соответствующая предельному положению секущей, называется касательной к кривой в точке A(x0 , f (x0 )) . Касательная имеет уравнение
|
|
|
|
|
|
y − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 ) . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Пример. Составить |
|
|
уравнение |
касательной |
|
к графику |
функции |
||||||||||
f (x) = x2 − 4x + 4 , проходящей через точку M (2, −4) , не лежащую на графике. |
||||||||||||||||||
|
Решение. Пусть A(x0 , f (x0 )) |
- точка касания. Тогда, уравнение касательной |
||||||||||||||||
имеет вид |
y − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 ) . |
Поскольку |
f (x) = x2 − 4x + 4 , |
а |
f (x) = 2x − 4 , то |
|||||||||||||
f ( x ) = x2 − 4x |
+ 4 , |
f (x ) = 2x |
|
− 4 |
и уравнение |
касательной |
можем |
уточнить: |
||||||||||
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y − ( x2 |
− 4x |
0 |
+ 4) = (2x |
− 4)( x − x |
) . Касательная |
проходит |
через |
точку |
M (2, −4) , |
|||||||||
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, |
выполняется равенство −4 − ( x2 |
− 4x |
+ 4) = (2x |
0 |
− 4)(2 − x ) , |
из которого |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
находим: x0 = 0 или x0 = 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Подставляем |
найденные |
значения |
|
в |
уравнение |
касательной |
|||||||||||
y − ( x2 |
− 4x |
0 |
+ 4) = (2x |
− 4)( x − x |
) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)если x0 = 0 , то y = −4x + 4 ;
2)если x0 = 4 , то y = 4x −12 .
Упражнения
Упражнение 1
В землю врыта труба, поперечное сечение которой имеет форму эллипса с полуосями 0,63 м и 0,77 м. Труба утоплена в землю на глубину 0,28 м (см. рис. 1). На высоте 0,6 м над поверхностью земли на трубу опирается доска, другой конец доски упирается в землю. По доске от точки касания с трубой вверх ползет муха.
а) Напишите уравнение, описывающее положение доски. Проверьте результат графически, построив в системе координат Oxy эллипс и график уравнения доски.
б) На сколько выше поверхности трубы окажется муха в моменты, когда ее сдвиг вправо (вдоль поверхности земли) составит 1, 2, 3, …, 15 см? Ответ на вопрос представьте как матрицу, в первой строке которой записаны отклонения мухи от начального положения по горизонтальной оси, а во второй – соответствующие им расстояния от мухи до поверхности трубы по вертикали. Размерами мухи пренебрегите.
2
0,6 м
0,28 м
Рис. 1
Упражнение 2
Петр стоит на левом берегу ручья шириной 1,45 м (обозначим местоположение Петра точкой A). Петру нужно попасть на правый берег, форма которого в разрезе довольно точно описывается уравнением y = ln(x −0,45) (уравнение записано в системе координат с началом в точке A и осями, одна из которых - Ox - направлена перпендикулярно берегу в сторону воды, другая - Oy - вертикально вверх).
Петр предполагает перебраться на правый берег по доске, опирающейся на левый берег в точке A. Какой длины доска нужна Петру, чтобы осуществить задуманное? Укажите минимальную длину. Визуализируйте результат, построив в системе
координат |
Oxy график функции y = ln(x −0,45) и отрезок касательной к нему, |
моделирующий импровизированный мостик. |
|
|
Список литературы и информационных ресурсов |
1. |
Сборник задач по математике для втузов [Текст]: Учеб. пособие для втузов: |
В 4-х ч. Ч. 2: [Введение в анализ; Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной; Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; Кратные интегралы; Дифференциальные уравнения] / Под ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2009.
2. В.Г.Потемкин "Введение в Matlab" (v 5.3) http://matlab.exponenta.ru
3. Мещеряков В.В. Задачи по математике с MATLAB&SIMULINK – М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2007
4. Амос Гилат. MATLAB. Теория и практика. 5-е изд./ Пер. с англ. Смоленцев Н.К. – М.:ДМК Пресс, 2016.
5. http://matlab.exponenta.ru
3