Билет 12 Теорема Коши.

Теорема Ролля:

Если функция непрерывна на , дифференцируема на и , то существует точка , такая, что .\

Теорема: (Коши о среднем)

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b] и имеют производные на интервале (a,b), одновременно не обращающиеся в ноль. При этом g(b)-g(a)0 (что следует из условия g΄(x)0). Тогда на интервале (a,b) найдется точка ζ, для которой выполняется неравенство:

, a<ζ<b.

Доказательство: Вводим функцию H(x)=(f(b)-f(a))·g(x)-(g(b)-g(a))·f(x). Очевидно, что она непрерывна на [a,b] и имеет производную на (a,b), т.к. f(b)-f(a) и g(b)-g(a) постоянны. Кроме того, H(a)=H(b), поэтому по теореме Ролля найдется такая точка ζ из (a,b), что H΄(ζ)=0.

H΄(ζ)=(f(b)-f(a))·g΄(ζ)-(g(b)-g(a))·f΄(ζ)(f(b)-f(a))·g΄(ζ)=(g(b)-g(a))·f΄(ζ) , т.к. по условию g(b)-g(a)0 и g΄(x)0 на (a,b).

Теорема доказана.

Физический смысл: Если f΄(x) и g΄(x) – скорости, то отношение перемещений равно отношению скоростей в какой-то момент времени.

Билет 13 Теорема о среднем Лагранжа. Ее геометрический смысл.

Теорема: (Коши о среднем)

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b] и имеют производные на интервале (a,b), одновременно не обращающиеся в ноль. При этом g(b)-g(a)0 (что следует из условия g΄(x)0). Тогда на интервале (a,b) найдется точка ζ, для которой выполняется неравенство:

, a<ζ<b.

Теорема:

Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет производную на интервале . Тогда существует на интервале точка , для которой выполняется равенство

(1),

причем .

Доказательство:

В теореме Коши, возьмем . Тогда , , .

Из теоремы Коши: теорема доказана.

Физический смысл:

Найдется момент времени когда (средняя скорость равна мгновенной)

Г еометрический смысл:

Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график непрерывной на функции, имеющей производную на , то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой и .

Равенство (1) называется формулой (Лагранжа) конечных приращений. Промежуточное значение удобно записывать в виде , где есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам . Тогда формула Лагранжа примет вид

Она верна, очевидно, не только для , но и для .

Билет 14

Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей.

Билет 15

Разложение многочлена по степеням (x-x0).

Рассмотрим произвольный многочлен степени n:

(1)

Пусть a – любое фиксированное число, тогда, полагая , получим

(2)

Это выражение называют разложение многочлена по степеням . Здесь – числа, зависящие от и , – коэффициенты разложения по степеням .

Подставим в выражение (2) , получим

(3)

Найдем последовательные производные и подставим в ним

Таким образом, многочлен может быть представлен в виде

или

Последняя формула называется формулой Тейлора для многочлена по степеням . Отметим, что правая часть этого выражения фактически не зависит от .

Билет 16

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Билет 17

Экстремум функции. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции

Билет 18

Достаточное условие экстремума для функции, имеющей n-ую непрервыную производную

Билет 19

Выпуклость и вогнутость кривой. Точка перегиба.

Определение: Функция f(x) называется выпуклой вверх (вниз) в точке x_o, если найдется такая окрестность U(x_o), что для всех точек из этой окрестности U(x_o) график функции f(x) лежит не выше (не ниже) касательной, проведенной в точке x_o.

Замечание: Говорить о выпуклости в точке можно только если функция дифференцируема в этой точке.

К онтрольный пример: . 0 - ни точка выпуклости вверх, ни точка выпуклости вниз, ни точка перегиба, потому что в любой окрестности U(0) есть точки в которых функция выпукла вверх и вниз.

Теорема: (Достаточное условие выпуклости вверх (вниз)).

Если функция f в точке x_o имеет непрерывную вторую производную , и при этом <0 (>0), то f выпукла в вверх (вниз) в точке x_o.

Доказательство:

Т.к. функция f имеет непрерывную вторую производную , то эта производная определена в некоторой окрестности . Разложим функцию f по формуле Тéйлора с остаточным членом в форме Пеано:

.

Причем функция является графиком касательной к функции f в точке . Поэтому если >0, то f(x)< (x) в окрестности (т.к. ε(x)→0, при x→0), а если >0, то f(x)> (x) в .

Точка перегиба. Достаточные условия. Общая теорема о точках перегиба и экстремума.

Определение.

Точка называется точкой перегиба, если в этой точке график переходит через сторону касательной (разные выпуклости слева и справа).

Замечание.

Точка перегиба существует только если . Пример

Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).

Если функция имеет непрерывной в точке , =0 и , то точка перегиба.

Доказательство:

В этом случае: , (формула Тейлора) , или .

В силу непрерывности в и того факта, что сохраняет знак в некоторой окрестности точки . С другой стороны, множитель меняет знак при переходе через , а вместе с ним и величина (равная превышению точки кривой над касательной в ) меняет знак при переходе через .

Теорема доказана.

Теорема 2 (Общая теорема о точках перегиба и экстремума.)

Пусть функция обладает следующими свойствами:

непрерывна в и . Тогда, если - нечетное число, то кривая обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли или , а если четное, то есть точка перегиба кривой.

Доказательство:

Разложим по формуле Тейлора:

того же знака, что , , , если - четное то

или всегда, - не точка перегиба.

Если - нечетная

С одной стороны , с другой стороны - точка перегиба. - четное.

, - min

, - max