Ортогональные и ортонормированные базисы в евклидовом пространстве.

Определение 5. Вектор называется нормированным, если .

Определение 6. Система векторов в евклидовом пространстве называется ортонормированной системой, если

Теорема 3. Пусть - евклидово пространство, (I) – базис в . Базис является ортонормированным тогда и только тогда, когда для любых векторов , , , скалярное произведение выражается равенством

.

Ортогональные матрицы, их свойства (доказать: q является ортогональной тогда и только тогда, когда столбцы q составляют ортонормированную систему).

Определение 7. Квадратная матрица называется ортогональной, если

.

Утверждение 1. Квадратная матрица является ортогональной тогда и только тогда, когда ее столбцы составляют ортонормированную систему арифметических векторов.

Ортогональные матрицы, их свойства (доказать: матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному базиса является ортогональной).

Утверждение 2. Матрица перехода от ортонормированного базиса евклидова пространства к любому другому его ортонормированному базису является ортогональной.

Ортогональные операторы в евклидовом пространстве, их свойства.

Утверждение 2. Матрица перехода от ортонормированного базиса евклидова пространства к любому другому его ортонормированному базису является ортогональной.

Теорема 2. В евклидовом пространстве всякая система ненулевых ортогональных векторов линейно независима.

Определение 8. Линейный оператор в евклидовом пространстве называется ортогональным, если

(оператор сохраняет норму любого вектора).

Теорема 4. Пусть - евклидово пространство, - ортогональный оператор в . Тогда

( сохраняет скалярное произведение).

Теорема 5. Пусть - евклидово пространство, (I) - ортонормированный базис, - ортогональный оператор в . Тогда система векторов (II) - ортонормированный базис.

Теорема 6. Пусть - евклидово пространство, - ортогональный оператор в . Тогда в любом ортонормированном базисе задается ортогональной матрицей.

Определение 9. Линейный оператор в евклидовом пространстве называется самосопряженным (симметрическим), если

.

Определение 10. Матрица , , называется симметрической, если .

Теорема 7. Пусть - евклидово пространство, (I) - ортонормированный базис в , - симметрический оператор в . Тогда матрица оператора в (I) симметрическая.

Теорема 8. Если линейный оператор , определенный в евклидовом пространстве , задается хотя бы в одном ортонормированном базисе симметрической матрицей, оператор - симметрический.

_{Теорема 9.} Пусть - евклидово пространство, - линейный оператор в . Оператор является симметрическим тогда и только тогда, когда в существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов оператора

Определение 8. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в . Вектор называется собственным вектором оператора , если найдется действительное число такое, что

.

Число называется собственным значением, соответствующим данному собственному вектору .

Квадратичные формы. Линейные преобразования неизвестных.

Определение 1. Квадратичной формой от неизвестных называется сумма вида

, (14.1)

или развернуто

. (14.2)

Определение 2. Линейным преобразованием неизвестных называется такой переход от системы неизвестных к системе неизвестных , при котором старые неизвестные выражаются через новые линейно с некоторыми коэффициентами:

(14.4)

(14.5)

Определение 3. Линейное преобразование неизвестных с матрицей называется невырожденным, если - невырожденная матрица.

Теорема 1. Пусть вслед за линейным преобразованием (14.4) с матрицей выполняется линейное преобразование с матрицей , , . Результирующее преобразование будет линейным с матрицей .

Утверждение 1. Для любых двух матриц А и В

.

Теорема 2. Квадратичная форма от n неизвестных с матрицей после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей превращается в квадратичную форму от новых неизвестных с матрицей .

Утверждение 2. Ранг произведения матриц не выше ранга сомножителей.

Утверждение 3. Ранг произведения произвольной матрицы на невырожденную квадратную матрицу слева или справа равен рангу .

Следствие из теоремы 2. Ранг квадратичной формы не изменяется при выполнении невырожденного линейного преобразования неизвестных.

Определение 4. Каноническим видом квадратичной формы называют сумму квадратов неизвестных с некоторыми коэффициентами.

Замечание. Число отличных от нуля коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы равно рангу формы.

Теорема 3 (основная теорема о квадратичных формах). Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду.