Характеристический многочлен и характеристические корни матрицы.

Определение 4. Квадратные матрицы и называются подобными, если существует невырожденная матрица , такая, что .

Теорема 2. Пусть - линейное пространство, (I) и (II) - два базиса в , - матрица перехода от (I) к (II), - линейный оператор в , - матрица оператора в (I), - матрица оператора в (II). Тогда .

Определение 5. Многочлен называется характеристическим многочленом матрицы , а его корни - характеристическими корнями матрицы .

Теорема 3. Подобные матрицы имеют одинаковый набор характеристических корней.

Следствие. Матрицы, задающие линейный оператор в различных базисах, имеют один набор характеристических корней (теорема 2 + теорема 3).

Характеристические корни и собственные значения линейного оператора.

Определение 6. Характеристические корни матрицы линейного оператора (в любом базисе) называются характеристическими корнями линейного оператора.

Определение 7. Весь набор характеристических корней называется спектром оператора.

Определение 8. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в . Вектор называется собственным вектором оператора , если найдется действительное число такое, что

.

Число называется собственным значением, соответствующим данному собственному вектору .

Теорема 4. Действительные характеристические корни линейного оператора, если они существуют, и только они, служат собственными значениями линейного оператора.

Линейные операторы с простым спектром.

Теорема 5. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в , - собственные векторы оператора , отвечающие собственным значениям . Если , то - линейно независимы.

Определение 9. Линейный оператор называется линейным оператором с простым спектром, если все его характеристические корни действительны и различны.

Теорема 6. Всякий линейный оператор с простым спектром может быть задан диагональной матрицей.

Евклидовы пространства. Определения и примеры. Следствия из аксиом.

Определение 1. Евклидовым пространством называется n-мерное линейное пространство, в котором каждой паре векторов поставлено в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением векторов и (это число обозначим ), причем выполняются следующие аксиомы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Замечание. Аксиомы 2 и 3 справедливы также в форме 2’: и форме 3’: .

Норма вектора. Неравенство Коши-Буняковского.

Определение 2. Нормой вектора называется число, равное .

Теорема 1 (неравенство Коши - Буняковского). Для любого и любого справедливо неравенство

. (13.4)

Линейная независимость системы ненулевых ортогональных векторов в евклидовом прос-стве.

Определение 3. Пусть - евклидово пространство, , . Векторы и называются ортогональными, если

.

Определение 4. Система векторов называется ортогональной системой векторов в евклидовом пространстве , если при .

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. В евклидовом пространстве всякая система ненулевых ортогональных векторов линейно независима.

Процесс ортогонализации Шмидта.

.

Шаг 1. Примем .

Шаг 2. Примем .

.

Шаг 3. Примем .

, .

Шаг 4. Пусть уже построена ортогональная система ненулевых векторов , причем , является линейной комбинацией векторов . Положим

.

, .