Базис линейного пространства. Единственность разложения вектора по базису.

Теорема 3. Пусть - линейное пространство, - базис в , . Координаты относительно базиса определены однозначно.

Базис линейного пространства. Координаы суммы векторов и произведения вектора на число.

Теорема 4. Пусть - линейное пространство, - базис в . При сложении любых двух векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.

Теорема 5. Пусть - линейное пространство, - базис в . Всякая система векторов при линейно зависима.

Следствие. Все базисы линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов.

Размерность линейного пространства.

Определение 6. Число векторов в любом базисе линейного пространства называется размерностью линейного пространства.

Для размерности линейного пространства принято обозначение .

В рассмотренных примерах:

1. если - линейное пространство всех геометрических векторов пространства, ;

2. если - линейное пространство всех многочленов степени , ;

3. если - линейное пространство всех квадратных матриц порядка 2, .

Связь между базисами линейного пространства.

Определение 1. Матрица называется матрицей перехода от базиса (I) к базису (II).

Замечание 1. Столбцы матрицы перехода , являются координатами в разложении векторов по базису (I).

Замечание 2. Матрица перехода от базиса к базису является невырожденной матрицей.

Теорема 1. Пусть - линейное пространство, (I) и (II) - два базиса в , - матрица перехода от (I) к (II), , и , тогда

Линейные подпространства. Примеры.

Определение 2. Пусть - линейное пространство. Непустое подмножество линейного пространства ( ) называется линейным подпространством в , если выполняются два условия:

1) ;

2) при любом вещественном числе .

Замечание. Если - линейное подпространство в , то само является линейным пространством относительно введенных в операций сложения и умножения на число.

Линейные операторы, определения и примеры.

Определение 1. Пусть - линейное пространство и каждому вектору , принадлежащему , поставлен в соответствие вектор , . Соответствие называется оператором, определенным в линейном пространстве .

Определение 2. Оператор , определенный в линейном пространстве , называется линейным, если:

1) ;

2) - вещественного числа .

Матрица линейного оператора. Связь координат образа и прообраза.

Определение 3. Пусть - линейное пространство, - базис в , - линейный оператор в . Матрицей линейного оператора в базисе называется матрица , , такая, что

,

,

…………………………………….. (12.1)

.

Замечание 1. Столбцы матрицы являются координатами в разложении векторов по базису .

Замечание 2. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в , (I) - базис в . Матрица оператора в базисе (I) определена однозначно.

Теорема 1. Пусть - линейное пространство, (I) - базис в , - линейный оператор в , - матрица линейного оператора в базисе (I), , , , . Тогда

.

Теорема 3. Пусть - линейное пространство, - базис в , . Координаты относительно базиса определены однозначно.