Правило Крамера.)

Теорема 1. Если , то система (9.1) имеет, притом единственное, решение.

Правило Крамера: если , то решение системы (9.1) может быть найдено по формулам , , где - определитель, который получится из , если столбец коэффициентов при заменить столбцом свободных членов.

Теорема Кронекера-Капелли.

Теорема 2 (Кронекера - Капелли). Система совместна тогда и только тогда, когда .

Определение 1. Формула, выражающая решение системы (9.4) в виде вектор-функции свободных неизвестных, называется общим решением системы (9.4):

Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.

Теорема 3. Любая линейная комбинация решений системы однородных линейных уравнений (9.8) является решением системы (9.8).

Определение 2. Пусть дана система линейных однородных уравнений с n неизвестными и матрицей , . Пусть неизвестные являются свободными.

Теорема 4. Пусть дана система линейных однородных уравнений с матрицей , , и - фундаментальная система решений. Тогда всякое решение системы является линейной комбинацией решений .

Аксиоматическое определение линейного пространства. Примеры. Следствия из аксиом.

Определение 1. Совокупность элементов произвольной природы называется линейным пространством, если для любых элементов и из установлено понятие суммы , а для любого элемента из и любого действительного числа установлено понятие произведения элемента на число , обозначаемое . При этом для введенных операций выполнены следующие восемь аксиом:

1. Сложение коммутативно: .

2. Сложение ассоциативно: .

3. Существует нулевой вектор , удовлетворяющий условию для всех .

4. Для любого вектора существует противоположный вектор , удовлетворяющий условию .

Для любых векторов , и любых действительных чисел имеют место равенства:

5. .

6. .

7. .

8. .

Укажем некоторые следствия из аксиом.

1. Единственность нулевого элемента.

2. Единственность противоположного элемента.

3. Существование и единственность разности.

4. Для любого вещественного числа .

5. Для любого вектора .

6. Если , то либо , либо .

7. ;

8. .

Базис линейного пространства. Примеры базисов в конкретных пространствах.

Определение 2. Пусть - линейное пространство. Вектор называется линейной комбинацией векторов , если найдутся такие числа , что

.

Определение 3. Система векторов , принадлежащих линейному пространству , называется линейно зависимой, если найдутся такие числа , не все равные нулю одновременно, что выполняется равенство

.

Определение 3'. Система векторов , принадлежащих линейному пространству , называется линейно зависимой, если один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Определение 4. Система векторов , принадлежащих линейному пространству , называется линейно независимой, если из равенства

следует, что .

Теорема 1. Всякая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Теорема 2. Всякая система векторов , содержащая линейно зависимую подсистему векторов, , линейно зависима.

Определение 5. Система векторов линейного пространства называется базисом в , если:

1) линейно независима;

2) (вещественные числа):

. (10.3)

Правая часть равенства (10.3) называется разложением вектора по базису , а числа - координатами вектора в базисе .

Приведем примеры базисов в конкретных линейных пространствах.