Умножение матриц, свойства умножения (доказать ассоциативность).

Определение 8. Произведением матрицы , , , на матрицу , , , называется матрица , , , с элементами .

Замечание 1. Число элементов в строке матрицы равно числу элементов в столбце матрицы (число столбцов матрицы равно числу строк матрицы ).

Замечание 2. В матрице строк столько же, сколько в матрице , а столбцов столько же, сколько в .

Замечание 3. Вообще говоря, (умножение матриц некоммутативно).

Чтобы обосновать замечание 3, достаточно привести хотя бы один пример.

Свойства умножения матриц:

1. Умножение дистрибутивно:

, .

2. Умножение ассоциативно: .

Теорема 2. Для любых двух квадратных матриц и

.

Обратная матрица, существование и единственность.

Утверждение 1. Матрица - единственная матрица, обладающая свойством (7.1).

Определение 1. Пусть - произвольная квадратная матрица. Матрица называется правой обратной для , если . Матрица называется левой обратной для , если .

Определение 2. Квадратная матрица называется вырожденной (особенной), если , и невырожденной (неособенной), если .

Утверждение 2. Вырожденная матрица не имеет ни правой, ни левой обратной.

Утверждение 3. Пусть - произвольный определитель порядка . Сумма произведений всех элементов любого столбца (строки) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца (строки) равна нулю.

Утверждение 4. Матрица - единственная обратная для .

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

Определение 3. Пусть - прямоугольная матрица размера . Выберем в произвольные строк и столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют определитель порядка , который называется минором порядка матрицы .

Определение 4. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы .

Теорема 1 (о базисном миноре). Столбцы, содержащие базисный минор, линейно независимы. Любой столбец матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов одного и того же базисного минора.

Замечание. Аналогичное утверждение справедливо и для строк: строки, содержащие базисный минор, линейно независимы, через них линейно выражаются все остальные строки матрицы.

Ранг матрицы. Вычисление ранга методом окаймляющих миноров.

Теорема 2. Если в матрице некоторый минор порядка отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то .

Метод элементарных преобразований

Определение 5. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:

1) перестановка двух строк (столбцов) матрицы;

2) умножение всех элементов строки (столбца) на вещественное число ;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Теорема 3. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Определение 6. Матрица размером имеет диагональную форму, если , кроме , , т.е.

.

Утверждение. Всякую матрицу элементарными преобразованиями можно привести к диагональной форме.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Определение 1. Решением системы линейных уравнений (8.1) называется такой набор чисел , что каждое из уравнений (8.1) обращается в тождество после замены неизвестных числами , .

Определение 2. Система (8.1) называется несовместной, если она не имеет решений, и совместной, если она имеет решения.

Определение 3. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений более одного.

Определение 4. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если они обе несовместны, или обе совместны и имеют одни и те же решения.