Билет 12. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.

Пусть дана система линейных однородных уравнений

(9.8)

Система (9.8) всегда совместна (решение всегда присутствует среди решений).

Если , то это решение - единственное, если , система (9.8) имеет бесчисленное множество решений (и, следовательно, есть решения, отличные от ).

Теорема 3. Любая линейная комбинация решений системы однородных линейных уравнений (9.8) является решением системы (9.8).

Доказательство. Пусть и - произвольные решения системы (9.8).

Пусть - некоторое число, . Подставим

в -е уравнение системы (9.8):

удовлетворяет -му уравнению системы (9.8) при произвольном , , т.е. является решением (9.8).

Пусть - произвольное вещественное число, .

Подставим в -е уравнение системы (9.8), :

- решение (9.8).

Итак, сумма любых двух решений системы (9.8) и произведение любого решения на число являются решениями системы (9.8), следовательно, любая линейная комбинация решений системы (9.8) является решением.

Определение 2. Пусть дана система линейных однородных уравнений с n неизвестными и матрицей , . Пусть неизвестные являются свободными.

Обозначим через , , то единственное решение системы, которое получится, если неизвестному присвоить значение , а остальным свободным неизвестным - значение .

Система решений называется фундаментальной системой решений данной системы линейных однородных уравнений.

Справедливо следующее утверждение, которое приведем без доказательства.

Теорема 4. Пусть дана система линейных однородных уравнений с матрицей , , и - фундаментальная система решений. Тогда всякое решение системы является линейной комбинацией решений .

Пример 3. Найти общее решение и фундаментальную систему решений системы

(9.9)

Решение. Первое уравнение, умноженное на , прибавим ко второму:

Отсюда .

Общее решение

,

свободными являются неизвестные и , главными - и .

Векторы и составляют фундаментальную систему решений системы (9.9)

.

Последнее равенство можно проверить непосредственно.

Билет 13. Аксиоматическое определение линейного пространства. Примеры. Следствия из аксиом.

Определение 1. Совокупность элементов произвольной природы называется линейным пространством, если для любых элементов и из установлено понятие суммы , а для любого элемента из и любого действительного числа установлено понятие произведения элемента на число , обозначаемое . При этом для введенных операций выполнены следующие восемь аксиом:

1. Сложение коммутативно: .

2. Сложение ассоциативно: .

3. Существует нулевой вектор , удовлетворяющий условию для всех .

4. Для любого вектора существует противоположный вектор , удовлетворяющий условию .

Для любых векторов , и любых действительных чисел имеют место равенства:

5. .

6. .

7. .

8. .

Элементы линейного пространства принято называть векторами.

Пример 2. Совокупность всех квадратных матриц порядка 2 составляет линейное пространство.

Решение. Проверим выполнение аксиом.

Пусть , .

По правилу сложения матриц

.

Но элементы матриц - вещественные числа, следовательно, и

,

аксиома 1 выполняется.

Пусть .

По правилу сложения матриц

,

.

Так как элементы матриц - вещественные числа , откуда

,

аксиома 2 выполняется.

В качестве нулевого вектора выступает матрица .

Действительно, для любой матрицы имеем:

,

аксиома 3 выполняется.

Для произвольной матрицы в качестве противоположного элемента возьмем матрицу .