Метод элементарных преобразований

Определение 5. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:

1) перестановка двух строк (столбцов) матрицы;

2) умножение всех элементов строки (столбца) на вещественное число ;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Справедливо следующее утверждение, которое приводится без доказательства.

Теорема 3. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Определение 6. Матрица размером имеет диагональную форму, если , кроме , , т.е.

.

Отметим, что , так как минор порядка , расположенный в левом верхнем углу (в первых строках и первых столбцах), отличен от нуля, а все миноры, окаймляющие его, равны нулю (они содержат столбец из нулей).

Утверждение. Всякую матрицу элементарными преобразованиями можно привести к диагональной форме.

Действительно, пусть

.

Если , то по определению 6 имеет диагональную форму.

Если , то, переставляя строки и столбцы, можно добиться того, что . Умножим все элементы первой строки на :

.

Первую строку, умноженную на , прибавим ко второй, умноженную на - к третьей,…, умноженную на - к -й. Таким образом, получим матрицу

.

Первый столбец, умноженный на , прибавим ко второму,..., умноженный на - к -му, получим

.

С матрицей, оставшейся в правом нижнем углу, совершим аналогичные преобразования. После конечного числа шагов придем к матрице диагонального вида.

Пример 6. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.

Решение. Договоримся об обозначениях. Запись будет означать, что матрица получена из матрицы с помощью элементарных преобразований. При этом -ю строку исходной матрицы обозначим , а -ю строку преобразованной матрицы - . Для -х столбцов будем использовать соответственно обозначения , .

Матрица приобрела диагональную форму, .

Билет 9. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Пусть дана система уравнений первой степени (линейных) с неизвестными. Неизвестные обозначим , уравнения будем считать пронумерованными: первое, второе,…, -е. Коэффициент из -го уравнения при неизвестном обозначим , свободный член - .

Система запишется в следующем виде:

(8.1)

Определение 1. Решением системы линейных уравнений (8.1) называется такой набор чисел , что каждое из уравнений (8.1) обращается в тождество после замены неизвестных числами , .

Определение 2. Система (8.1) называется несовместной, если она не имеет решений, и совместной, если она имеет решения.

Определение 3. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений более одного.

Определение 4. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если они обе несовместны, или обе совместны и имеют одни и те же решения.

Перейдем к изложению метода Гаусса.

Дана система (8.1). Пусть (если это не так, возьмем в качестве первого любое другое уравнение с коэффициентом при , отличным от нуля, и перенумеруем уравнения; хотя бы одно такое уравнение найдется, иначе просто отсутствовал бы).

Обе части первого уравнения, умноженные на , прибавим к обеим частям второго уравнения, умноженные на , - к обеим частям третьего и т.д., умноженные на - к обеим частям -го уравнения. Придем к новой системе:

(8.5)

Система (8.5) эквивалентна системе (8.1).

Первое неизвестное исключили из всех уравнений системы, начиная со второго.

Уже после первого шага может встретиться уравнение вида

, . (8.6)

Если , этому уравнению удовлетворяет любой набор чисел . В этом случае уравнение будем отбрасывать. Если , уравнению (8.6) не удовлетворяет никакой набор чисел , и система, содержащая такое уравнение (8.6), несовместна, следовательно, несовместна и эквивалентная ей система (8.1). В этом случае преобразования по методу Гаусса будем прерывать.

Итак, имеем систему (8.5). Среди коэффициентов , , , есть отличные от нуля (иначе либо система несовместна, либо уравнения можно отбросить). Пусть для определенности (если , но отличен от нуля коэффициент при в другом уравнении, можно перенумеровать уравнения, если , можно перенумеровать неизвестные). Обе части второго уравнения, умноженные на , прибавим к обеим частям третьего уравнения и т.д., обе части второго уравнения, умноженные на , - к обеим частям -го уравнения. Этим исключим неизвестное из всех уравнений, кроме первого и второго, и придем к системе

Аналогичным образом продолжим процесс исключения неизвестных.

Если после нескольких шагов получим уравнение вида (8.6), в котором , можно сделать вывод о несовместности системы. Если же такое уравнение не встретится, придем к системе

(8.7)

эквивалентной системе (8.1). Здесь , , …, , .

При система (8.7) имеет вид

(8.8)

Из последнего уравнения найдем значение ( ), подставим в -е, найдем ( ) и т.д. до первого уравнения, из которого определится . Система (8.8) в этом случае имеет единственное решение и эквивалентная ей система (8.1) является определенной.

При в последнем уравнении системы (8.7) присвоим неизвестным произвольные числовые значения:

.

Из последнего, -го, уравнения системы (8.7) найдем ( ), подставим в -е уравнение, найдем и т.д., двигаясь снизу вверх по системе (8.7), найдем вполне определенные значения . Так как значения для неизвестных можно выбрать бесчисленным множеством способов, система (8.7) в случае будет неопределенной.

Итак, метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. Если в процессе преобразований встретится уравнение, в котором все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля, система несовместна. Если такое уравнение не встретится, система совместна. Она является определенной, если приводится к треугольному виду (8.8), и неопределенной, если приводится к трапецеидальному виду (8.7).