Билет 7. Ранг матрицы. Вычисление ранга методом окаймляющих миноров.

Теорема 2. Если в матрице некоторый минор порядка отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то .

Доказательство этого утверждения опустим.

Пример 5. Найти ранг матрицы :

Решение. Имеем (следовательно, ).

; ( );

;

;

.

Таким образом, известен минор второго порядка, отличный от нуля ( ), а все миноры третьего порядка, окаймляющие его, равны нулю, следовательно, .

Базисный минор . Через первый и третий столбцы линейно выражаются остальные столбцы матрицы.

Изложенный способ нахождения ранга матрицы называется методом окаймляющих миноров.

Метод элементарных преобразований

Определение 5. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:

1) перестановка двух строк (столбцов) матрицы;

2) умножение всех элементов строки (столбца) на вещественное число ;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Справедливо следующее утверждение, которое приводится без доказательства.

Теорема 3. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Определение 6. Матрица размером имеет диагональную форму, если , кроме , , т.е.

.

Отметим, что , так как минор порядка , расположенный в левом верхнем углу (в первых строках и первых столбцах), отличен от нуля, а все миноры, окаймляющие его, равны нулю (они содержат столбец из нулей).

Утверждение. Всякую матрицу элементарными преобразованиями можно привести к диагональной форме.

Действительно, пусть

.

Если , то по определению 6 имеет диагональную форму.

Если , то, переставляя строки и столбцы, можно добиться того, что . Умножим все элементы первой строки на :

.

Первую строку, умноженную на , прибавим ко второй, умноженную на - к третьей,…, умноженную на - к -й. Таким образом, получим матрицу

.

Первый столбец, умноженный на , прибавим ко второму,..., умноженный на - к -му, получим

.

С матрицей, оставшейся в правом нижнем углу, совершим аналогичные преобразования. После конечного числа шагов придем к матрице диагонального вида.

Пример 6. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.

Решение. Договоримся об обозначениях. Запись будет означать, что матрица получена из матрицы с помощью элементарных преобразований. При этом -ю строку исходной матрицы обозначим , а -ю строку преобразованной матрицы - . Для -х столбцов будем использовать соответственно обозначения , .

Матрица приобрела диагональную форму, .

Билет 8. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы элементарными преобразованиями.

Теорема 2. Если в матрице некоторый минор порядка отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то .

Доказательство этого утверждения опустим.

Пример 5. Найти ранг матрицы :

Решение. Имеем (следовательно, ).

; ( );

;

;

.

Таким образом, известен минор второго порядка, отличный от нуля ( ), а все миноры третьего порядка, окаймляющие его, равны нулю, следовательно, .

Базисный минор . Через первый и третий столбцы линейно выражаются остальные столбцы матрицы.

Изложенный способ нахождения ранга матрицы называется методом окаймляющих миноров.