Свойства умножения матриц:
Умножение дистрибутивно:
,
.
2.
Умножение ассоциативно:
.
Докажем
свойство 1. Пусть
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Обозначим
,
,
,
,
,
,
,
.
Имеем
,
и,
таким образом, в соответствии с
определением 6
,
или, возвращаясь к старым обозначениям,
.
Свойство 1 доказано.
Так как умножение матриц некоммутативно, следовало бы доказать и правую дистрибутивность: . Опустим доказательство, так как оно аналогично приведенному доказательству левой дистрибутивности.
Докажем
свойство 2. Пусть
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Обозначим
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Имеем
,
таким
образом,
.
Вернемся к старым обозначениям и получим: , т.е. свойство 2 доказано.
Для квадратных матриц справедливо следующее утверждение, которое приведем без доказательства.
Теорема 2. Для любых двух квадратных матриц и
.
Приведем пример, иллюстрирующий утверждение теоремы 2.
Пример 13. Даны матрицы
и
.
Вычислить
.
Воспользуемся
теоремой 2:
.
Найдем
произведение
непосредственно:
.
Следовательно, результаты совпадают.
Билет 4. Умножение матриц, свойства умножения (доказать дистрибутивность).
Определение 8. Произведением матрицы , , , на матрицу , , , называется матрица , , , с элементами .
Краткая запись: .
Пример 10. Найти произведение матриц
и .
В соответствии с определением 8 найдем
.
Пример 11. Перемножить матрицы
и .
Имеем
.
Замечание 1. Число элементов в строке матрицы равно числу элементов в столбце матрицы (число столбцов матрицы равно числу строк матрицы ).
Замечание 2. В матрице строк столько же, сколько в матрице , а столбцов столько же, сколько в .
Замечание 3. Вообще говоря, (умножение матриц некоммутативно).
Чтобы обосновать замечание 3, достаточно привести хотя бы один пример.
Пример 12. Перемножим в обратном порядке матрицы и из примера 10.
,
таким образом, в общем случае .
Отметим, что в частном случае равенство возможно.
Матрицы и , для которых выполняется равенство , называются перестановочными, или коммутирующими.
Свойства умножения матриц:
Умножение дистрибутивно:
, .
2. Умножение ассоциативно: .
Докажем свойство 1. Пусть , , , , , , , , .
Обозначим , , , , , , , .
Имеем
,
и, таким образом, в соответствии с определением 6 , или, возвращаясь к старым обозначениям, . Свойство 1 доказано.
Так как умножение матриц некоммутативно, следовало бы доказать и правую дистрибутивность: . Опустим доказательство, так как оно аналогично приведенному доказательству левой дистрибутивности.
Докажем свойство 2. Пусть , , , , , , , , .
Обозначим , , , , , , , , , , , .
Имеем
,
таким образом, .
Вернемся к старым обозначениям и получим: , т.е. свойство 2 доказано.
Для квадратных матриц справедливо следующее утверждение, которое приведем без доказательства.
Теорема 2. Для любых двух квадратных матриц и
.
Приведем пример, иллюстрирующий утверждение теоремы 2.
Пример 13. Даны матрицы
и .
Вычислить .
Воспользуемся теоремой 2: .
Найдем произведение непосредственно:
. Следовательно, результаты совпадают.