Билет 2. Сложение матриц и умножение матрицы на число, свойства этих операций.

Определение 5. Две матрицы , , , и , , , будем называть равными, если .

Краткая запись: .

Таким образом, две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы равны.

Определение 6. Суммой двух матриц , , , и , , , называется такая матрица , , , что .

Иначе говоря, складывать можно только матрицы одних и тех же порядков, причем сложение осуществляется поэлементно.

Пример 8. Найти сумму матриц

и .

В соответствии с определением 6 найдем

.

Правило сложения матриц распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.

Определение 7. Произведением матрицы , , , на вещественное число называется такая матрица , , , для которой .

Иными словами, чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число все ее элементы и оставить полученные произведения на прежних местах.

Пример 9. Найти линейную комбинацию матриц

и .

Пользуясь определением 7, получаем

, ,

далее привлекаем определение суммы матриц (определение 6):

.

Свойства операций сложения матриц и умножения на число:

1. Сложение коммутативно: .

2. Сложение ассоциативно: .

3. Существует нулевая матрица , удовлетворяющая условию для всех А.

4. Для любой матрицы А существует противоположная матрица В, удовлетворяющая условию .

Для любых матриц А и В и любых действительных чисел имеют место равенства:

5. .

6. .

7. .

8. .

Проверим свойство 1. Обозначим , . Пусть , , . Имеем

,

и так как равенство доказано для произвольного элемента, в соответствии с определением 5 . Свойство 1 доказано.

Аналогично доказывается свойство 2.

В качестве матрицы возьмем матрицу порядка , все элементы которой равны нулю.

Сложив с любой матрицей по правилу, данному в определении 6, мы матрицу не изменим, и свойство 3 справедливо.

Проверим свойство 4. Пусть . Положим . Тогда , следовательно, свойство 4 справедливо.

Проверку свойств 5 - 8 опустим.

Билет 3. Умножение матриц, свойства умножения (доказать ассоциативность).

Определение 8. Произведением матрицы , , , на матрицу , , , называется матрица , , , с элементами .

Краткая запись: .

Пример 10. Найти произведение матриц

и .

В соответствии с определением 8 найдем

.

Пример 11. Перемножить матрицы

и .

Имеем

.

Замечание 1. Число элементов в строке матрицы равно числу элементов в столбце матрицы (число столбцов матрицы равно числу строк матрицы ).

Замечание 2. В матрице строк столько же, сколько в матрице , а столбцов столько же, сколько в .

Замечание 3. Вообще говоря, (умножение матриц некоммутативно).

Чтобы обосновать замечание 3, достаточно привести хотя бы один пример.

Пример 12. Перемножим в обратном порядке матрицы и из примера 10.

,

таким образом, в общем случае .

Отметим, что в частном случае равенство возможно.

Матрицы и , для которых выполняется равенство , называются перестановочными, или коммутирующими.