Билет 35. Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Определение 5. Нормальным видом квадратичной формы называется сумма квадратов неизвестных с коэффициентами «+!» или « ».

Теорема 4. Всякую квадратичную форму можно привести некоторым невырожденным линейным преобразованием неизвестных к нормальному виду.

Доказательство. Пусть - квадратичная форма ранга . Следовательно, - линейное преобразование неизвестных, приводящее к виду

, (14.20)

где , (теорема 3 и следствие из теоремы 2).

Положим

(14.21)

Равенства (14.21) можно записать в виде следующего матричного равенства:

,

где - невырожденная матрица (так как ), следовательно, существует и равенство можно разрешить относительно : .

Последовательное выполнение линейных преобразований и является линейным преобразованием с матрицей (теорема 1); линейное преобразование приводит квадратичную форму к нормальному виду

.

Теорема 4 доказана.

Определение 6. Квадратичная форма от n неизвестных называется положительно определенной, если она приводится к нормальному виду, содержащему n квадратов неизвестных с коэффициентами «+1»:

Теорема 5. Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда при любых значениях неизвестных, хотя бы одно из которых отлично от нуля, эта форма принимает положительные значения.

Доказательство. Пусть положительно определена, т.е. приводится некоторым невырожденным линейным преобразованием к виду

.

Так как - невырожденная матрица, и . Пусть , , тогда

(14.22)

Пусть - набор неизвестных, среди которых хотя бы одно отлично от нуля. Следовательно, в равенствах (14.22) среди соответствующих значений найдется . Действительно, допустим, . Тогда система линейных алгебраических уравнений

с определителем имеет единственное решение , а по условию хотя бы одно из неизвестных , , отлично от нуля, получили противоречие и, следовательно, среди , , есть . Тогда (так как ).

Обратно. Пусть . Допустим, что не является положительно определенной, - это означает, что в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма некоторым невырожденным линейным преобразованием , либо отсутствует квадрат хотя бы одного неизвестного, либо входит с коэффициентом . Пусть это неизвестное . Тогда , либо .

Рассмотрим следующий набор неизвестных :

, . (14.23)

Пусть неизвестные , , связаны с , , равенствами (14.22). Набор неизвестных , соответствующий (14.23), найдем из системы уравнений

(14.24)

Пусть - решение системы (14.24), следовательно, , так как если , не удовлетворяется, например, последнее уравнение в (14.24).

Имеем

и, таким образом, , получили противоречие, и, значит, нормальный вид квадратичной формы содержит квадратов неизвестных с коэффициентами +1 и является положительно определенной формой.

Теорема 5 доказана.

Определение 7. Пусть , , . Миноры , , , …, называются главными минорами квадратичной формы .

Сформулируем без доказательства следующее утверждение.

Теорема 6 (критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры строго положительны.