Билет 34. Квадратичные формы. Линейные преобразования неизвестных.

Определение 1. Квадратичной формой от неизвестных называется сумма вида

, (14.1)

или развернуто

. (14.2)

Матрица , называется матрицей квадратичной формы (14.1), а ее ранг – рангом формы (14.1).

Если ранг формы равен , форма называется невырожденной (в этом случае ранг матрицы равен и матрица невырожденная).

В (14.2) , , , поэтому коэффициент при слагаемом можно обозначить , т.е. допустить, что .

Ввиду последнего равенства - симметрическая матрица.

Запишем квадратичную форму (14.1) в матричном виде. Пусть , тогда и

. (14.3)

Действительно, по определению умножения матриц имеем

Далее находим

и равенство (14.3) выполняется.

Определение 2. Линейным преобразованием неизвестных называется такой переход от системы неизвестных к системе неизвестных , при котором старые неизвестные выражаются через новые линейно с некоторыми коэффициентами:

(14.4)

Линейное преобразование (14.4) однозначно определяется матрицей из коэффициентов , .

Систему равенств (14.4) можно записать в матричном виде

. (14.5)

Определение 3. Линейное преобразование неизвестных с матрицей называется невырожденным, если - невырожденная матрица.

Теорема 1. Пусть вслед за линейным преобразованием (14.4) с матрицей выполняется линейное преобразование с матрицей , , . Результирующее преобразование будет линейным с матрицей .

Доказательство. По условию

(14.6)

Подставив в (14.4) выражения для , , из (14.6), получим линейные выражения для через , т.е. результат последовательного выполнения двух линейных преобразований неизвестных является линейным преобразованием.

Далее имеем , . Таким образом, результирующее преобразование имеет матрицей .

Утверждение 1. Для любых двух матриц А и В

.

Доказательство. Пусть

, .

Обозначим , , , . По определению произведения матриц .

Обозначим . По определению транспонированной матрицы .

Обозначим . Элемент равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца = сумме произведений элементов -го столбца на соответствующие элементы -й строки , и приходим к равенству .

Таким образом, , т.е. .

Теорема 2. Квадратичная форма от n неизвестных с матрицей после выполнения линейного преобразования неизвестных с матрицей превращается в квадратичную форму от новых неизвестных с матрицей .

Доказательство. Пусть

(14.7)

и , , .

В соответствии с утверждением 1 . Подставим и в (14.7):

.

Матрица симметрическая, так как

.

Таким образом, преобразовалась в квадратичную форму от неизвестных с матрицей .

Докажем два вспомогательных утверждения.

Утверждение 2. Ранг произведения матриц не выше ранга сомножителей.

Доказательство. Достаточно провести доказательство для двух сомножителей.

Пусть , , , .

По определению произведения двух матриц

, , (14.8)

,

,

……………………………….

,

или

,

т.е. k-й столбец матрицы является линейной комбинацией столбцов матрицы с коэффициентами и система столбцов матрицы линейно выражается через систему столбцов матрицы , следовательно, .

По определению произведения матриц .

Аналогично, фиксируя в (14.8) и придавая значения , получаем, что -я строка является линейной комбинацией строк матрицы и .

Утверждение 2 доказано.

Утверждение 3. Ранг произведения произвольной матрицы на невырожденную квадратную матрицу слева или справа равен рангу .

Доказательство. Пусть . В соответствии с утверждением 2 .

Умножим последнее равенство на справа: и опять воспользуемся леммой 2: . Отсюда .

Следствие из теоремы 2. Ранг квадратичной формы не изменяется при выполнении невырожденного линейного преобразования неизвестных.

Доказательство. Пусть - матрица квадратичной формы , - матрица некоторого невырожденного линейного преобразования неизвестных, - матрица квадратичной формы после выполнения преобразования .

По теореме 2 , а в силу утверждения 3 ( ).

Определение 4. Каноническим видом квадратичной формы называют сумму квадратов неизвестных с некоторыми коэффициентами.

Замечание. Число отличных от нуля коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы равно рангу формы.

Теорема 3 (основная теорема о квадратичных формах). Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду.

Доказательство. Доказательство проведем индукцией по числу неизвестных.

При имеем , т.е. - канонического вида.

Пусть утверждение теоремы справедливо для : всякую квадратичную форму от неизвестного можно привести к каноническому виду некоторым невырожденным линейным преобразованием и пусть

-

квадратичная форма от неизвестных .

Случай 1. В форме присутствует квадрат хотя бы одного неизвестного. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что (в противном случае можно заново перенумеровать неизвестные). Тогда можно записать в виде

. (14.11)

Действительно,

,

и в первое слагаемое в (14.11) вошли все члены формы , содержащие неизвестное ; для того, чтобы (14.11) было справедливо, пришлось добавить, а затем вычесть несколько слагаемых, не содержащих , поэтому в (14.11) - некоторая квадратичная форма от неизвестных .

От неизвестных перейдем к по формулам

(14.12)

или в матричной записи: , где

.

Матрица невырожденная, так как , следовательно, и .

Невырожденное линейное преобразование неизвестных приводит форму к виду

. (14.13)

Квадратичная форма - форма от -го неизвестного и по предположению индукции найдется невырожденное линейное преобразование неизвестных , приводящее ее к каноническому виду . Пусть это преобразование с матрицей , :

( - невырожденная матрица и ).

Рассмотрим теперь линейное преобразование неизвестных :

(14.14)

или в матричной записи , где

.

Линейное преобразование (14.14) невырожденное, так как и приводит квадратичную форму (14.13) к виду

(14.15)

Последовательное выполнение линейных преобразований (14.12) и (14.14) является линейным преобразованием и имеет матрицей (теорема 1). Оно будет невырожденным, так как . Линейное преобразование приводит квадратичную форму к каноническому виду (14.15).

Утверждение теоремы в случае 1 доказано.

Случай 2. Квадратичная форма не содержит ни одного квадрата неизвестного ( ).

Совершим невырожденное линейное преобразование, приводящее к появлению квадратов неизвестных. Пусть, например, :

. (14.16)

Положим

или

.

Линейное преобразование невырожденное, так как , оно приведет квадратичную форму (14.16) к виду

,

появились квадраты неизвестных и , свели к уже рассмотренному случаю 1. Теорема 3 полностью доказана.