Билет 22. Характеристический многочлен и характеристические корни матрицы.

Определение 4. Квадратные матрицы и называются подобными, если существует невырожденная матрица , такая, что

.

Теорема 2. Пусть - линейное пространство, (I) и (II) - два базиса в , - матрица перехода от (I) к (II), - линейный оператор в , - матрица оператора в (I), - матрица оператора в (II). Тогда

.

Это утверждение примем без доказательства.

Пусть . Матрица , где - единичная матрица порядка , а - произвольное вещественное число, называется характеристической матрицей для . Она имеет вид

.

Определитель - некоторый многочлен порядка относительно .

Определение 5. Многочлен называется характеристическим многочленом матрицы , а его корни - характеристическими корнями матрицы .

Теорема 3. Подобные матрицы имеют одинаковый набор характеристических корней.

Доказательство. Пусть , - невырожденная матрица. Имеем

.

Характеристические многочлены матриц В и С совпадают, следовательно, совпадают и характеристические корни.

Теорема доказана.

Следствие. Матрицы, задающие линейный оператор в различных базисах, имеют один набор характеристических корней (теорема 2 + теорема 3).

Билет 23. Характеристические корни и собственные значения линейного оператора.

Определение 6. Характеристические корни матрицы линейного оператора (в любом базисе) называются характеристическими корнями линейного оператора.

Определение 7. Весь набор характеристических корней называется спектром оператора.

Определение 8. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в . Вектор называется собственным вектором оператора , если найдется действительное число такое, что

.

Число называется собственным значением, соответствующим данному собственному вектору .

Справедливо следующее утверждение, которое приведем без доказательства.

Теорема 4. Действительные характеристические корни линейного оператора, если они существуют, и только они, служат собственными значениями линейного оператора.

Пример 5. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора зеркального отражения относительно оси .

Решение. Матрица оператора была найдена в примере 2: .

Составим характеристическое уравнение:

,

откуда и , .

Числа , - характеристические корни линейного оператора (в соответствии с определением 6), они действительны и, согласно теореме 4, являются собственными значениями. Найдем соответствующие им собственные векторы.

По определению собственного вектора , но , следовательно, ищем векторы, удовлетворяющие уравнению , или , или

. (12.3)

При имеем . Подставим ее в (12.3):

,

что равносильно системе уравнений

(12.4)

откуда , и решением системы (12.4) являются все векторы вида

,

- произвольное вещественное число, отличное от нуля.

При получаем , подставляем в (12.3):

,

получаем систему уравнений

откуда , - произвольное вещественное число, отличное от нуля.

Г еометрически это означает, что любой ненулевой вектор, приложенный к началу координат с концом на оси , является собственным, отвечающим собственному значению (действие на него оператора сводится к умножению его на , а любой ненулевой вектор с концом на оси является собственным, отвечающим собственному значению (т.е. действие оператора на этот вектор заключается в умножении его на (рис. 12.5)).