Билет 20. Линейные операторы, определения и примеры.

Определение 1. Пусть - линейное пространство и каждому вектору , принадлежащему , поставлен в соответствие вектор , . Соответствие называется оператором, определенным в линейном пространстве .

Принята также запись: . Вектор называется прообразом, а - образом при отображении оператором .

О пределение 2. Оператор , определенный в линейном пространстве , называется линейным, если:

1) ;

2) - вещественного числа .

Пример 1. - линейное пространство всех геометрических векторов плоскости, - зеркальное отражение относительно оси (рис. 12.1). - линейный оператор.

Убедимся, что выполняется требование 2) в определении 2.

Пусть - произвольное вещественное число, по определению умножения на для геометрического вектора вектор имеет то же направление, что и , если , и противоположное, если , и .

Рис. 12.2 соответствует случаю , ( рассматривается аналогично).

П усть , , - зеркальное отражение вектора относительно оси , - зеркальное отражение вектора . Тогда ~ и, значит, . Но , поэтому . Кроме того, направление вектора совпадает с направлением вектора , следовательно, . Таким образом, имеем

.

Так же, исходя из геометрических соображений, можно доказать, что , следовательно, оператор зеркального отражения относительно оси является линейным оператором.

Билет 21. Матрица линейного оператора. Связь координат образа и прообраза.

Определение 3. Пусть - линейное пространство, - базис в , - линейный оператор в . Матрицей линейного оператора в базисе называется матрица , , такая, что

,

,

…………………………………….. (12.1)

.

Замечание 1. Столбцы матрицы являются координатами в разложении векторов по базису .

П ример 2. Найти матрицу линейного оператора зеркального отражения относительно оси в базисе .

По определению оператора (рис. 12.3).

Используя разложение векторов и по базису , находим: , . Полученные строки координат располагаем по столбцам:

.

Замечание 2. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в , (I) - базис в . Матрица оператора в базисе (I) определена однозначно.

Для того, чтобы в этом убедиться, разложим векторы по базису (I). Столбцы матрицы представляют собой координаты этих векторов, которые согласно теореме 3 лекции 10 определяются единственным образом, следовательно, матрица оператора в (I) определена однозначно.

Теорема 1. Пусть - линейное пространство, (I) - базис в , - линейный оператор в , - матрица линейного оператора в базисе (I), , , , . Тогда

.

Доказательство. Имеем

.

По условию .

Используя теорему о единственности разложения вектора по базису (теорема 3 из лекции 10), получим

. (12.2)

Заметим, что в последнем равенстве числа - элементы k-й строки матрицы .

Привлекая правило умножения матриц, равенство (12.2) запишем в виде

.

Теорема доказана.

Пример 3. Для линейного оператора зеркального отражения относительно оси найти, как преобразуются координаты произвольного вектора.

Решение. Матрица оператора была найдена в примере 2:

.

В силу теоремы 1, если - прообраз, а - образ, , то , т.е. первая координата образа остается без изменения, а вторая меняет лишь знак (рис. 12.4).

Пример 4. - линейное пространство всех многочленов степени , - линейный оператор дифференцирования. Найти его матрицу в базисе и, используя теорему 1, продифференцировать многочлен .

Решение. Находим образы векторов базиса и разлагаем полученные векторы по базису :

,

,

.

Матрица оператора в базисе имеет вид

,

а вектор . Обозначим . По теореме 1 имеем

,

или в виде разложения по базису : .

Теорема 3. Пусть - линейное пространство, - базис в , . Координаты относительно базиса определены однозначно.