Билет 18. Связь между базисами линейного пространства.
Пусть
-
линейное пространство,
(I)
и
(II)
- два базиса в
.
Так
как (I)
- базис, любой вектор из
,
в частности любой вектор системы (II),
можно представить в виде линейной
комбинации векторов системы (I),
т.е. найдутся такие числа
,
что
………………………………. (11.1)
Определение
1. Матрица
называется матрицей перехода от базиса
(I)
к базису (II).
Замечание 1. Столбцы матрицы перехода , являются координатами в разложении векторов по базису (I).
Справедливость этого замечания непосредственно следует из равенств (11.1).
Замечание 2. Матрица перехода от базиса к базису является невырожденной матрицей.
Доказательство этого факта опустим.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема
1. Пусть
- линейное пространство,
(I)
и
(II)
- два базиса в
,
- матрица перехода от (I)
к (II),
,
и
,
тогда
.
(11.2)
Доказательство.
Подставим в разложение
по базису (II)
выражения
из (11.1), получим
.
Последнюю сумму запишем развернуто:
.
По условию , используя теорему о единственности разложения вектора по базису (теорема 3 в лекции 10), получим
,
,
……………………………………
,
что в матричном виде выглядит как равенство
.
Отсюда следует
.
Теорема доказана.
Билет 19. Линейные подпространства. Примеры.
Определение
2. Пусть
- линейное пространство. Непустое
подмножество
линейного пространства
(
)
называется линейным подпространством
в
,
если выполняются два условия:
1)
;
2)
при любом вещественном числе
.
Пример
3.
Пусть
- линейное пространство всех
арифметических
-мерных
векторов
;
- совокупность всех векторов, у которых
первая и последняя компоненты равны
нулю, т.е. векторов вида
.
- подпространство в
.
Действительно,
пусть
и
,
следовательно, по определению
и
.
По правилу сложения векторов в
и, таким образом, сумма любых двух
векторов из
принадлежит
.
Пусть
и
- произвольное
вещественное число. Но
(так как
),
следовательно, по правилу умножения
вектора на число в
и вместе с любым вектором произведение
его на
тоже принадлежит
.
В соответствии с определением 2 это
означает, что
- линейное
подпространство в
.
Замечание. Если - линейное подпространство в , то само является линейным пространством относительно введенных в операций сложения и умножения на число.
Действительно, требования 1) и 2) в определении 2 означают, что в определены операции сложения векторов и умножения вектора на число.
Аксиомы 1 и 2 выполняются в , так как они имеют место в . Убедимся в справедливости аксиомы 3.
Пусть
,
,
следовательно, согласно условию 2)
,
но по следствию 5 из аксиом в
,
таким образом,
и в
справедлива аксиома 3.
Пусть
,
.
Следовательно, согласно условию 2)
,
но по следствию 8 из аксиом в
,
таким образом,
и в
справедлива аксиома 4.
Аналогично проверяется справедливость аксиом 5 - 8, следовательно, - линейное пространство.
Пусть
- произвольное
линейное пространство,
- некоторая
система векторов в
.
Рассмотрим совокупность всех векторов
вида
,
где
принимают
всевозможные вещественные значения.
Обозначим множество этих векторов
.
называется линейной
оболочкой
векторов
.
является
подпространством в
.
Действительно,
(так как,
например, сами векторы
,
,
принадлежат
).
Пусть
,
,
следовательно, по определению
такие, что
,
.
Имеем
и
.
Пусть
,
- произвольное вещественное число.
Имеем
и
.
Таким образом, выполняются условия 1) и 2) определения 2 и является линейным подпространством в .
Говорят, что порождено системой векторов или "натянуто" на систему .
Заметим, что само линейное пространство может рассматриваться как линейная оболочка любого своего базиса.
Пример
4.
Найти
размерность и базис линейной оболочки
векторов
,
,
.
Найдем
ранг матрицы, строками которой являются
данные векторы
,
,
:
~
~
.
Минор
второго порядка
,
следовательно, первые две строки матрицы
линейно независимы. Значит, векторы
и
составляют линейно независимую систему
векторов в
,
а следовательно, и в линейной оболочке
,
и вектор
через них линейно выражается. Тогда
любой вектор
тоже линейно выражается через
и
.
Векторы
и
являются базисом в
,
.
1. Сложение коммутативно: .
2. Сложение ассоциативно: .
3. Существует нулевой вектор , удовлетворяющий условию для всех .
4. Для любого вектора существует противоположный вектор , удовлетворяющий условию .
Для любых векторов , и любых действительных чисел имеют место равенства:
5. .
6. .
7. .
8. .
2. Единственность противоположного элемента.
Единственность нулевого элемента.
3. Существование и единственность разности.
Для любого вещественного числа .
5. Для любого вектора .
6. Если , то либо , либо .
Для любого вещественного числа и любого справедливы соотношения:
7. ;
8. .