Билет 15. Базис линейного пространства. Единственность разложения вектора по базису.

Теорема 3. Пусть - линейное пространство, - базис в , . Координаты относительно базиса определены однозначно.

Доказательство. Пусть , и .

Имеем

.

С другой стороны,

.

Откуда в силу линейной независимости векторов следует , т.е. .

Допустив, что вектор имеет два разложения по базису , мы получили, что эти разложения совпадают, это и означает, что координаты вектора относительно базиса определены однозначно.

Теорема доказана.

Билет 16. Базис линейного пространства. Координаы суммы векторов и произведения вектора на число.

Теорема 4. Пусть - линейное пространство, - базис в . При сложении любых двух векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.

Теорема 5. Пусть - линейное пространство, - базис в . Всякая система векторов при линейно зависима.

Доказательство. Достаточно доказать утверждение для (если , сошлемся на теорему 2).

Пусть - произвольная система векторов в .

Случай 1. Среди есть , следовательно, система линейно зависима.

Случай 2. .

Так как система - базис, существуют такие , что

,

, (10.4)

……………………………………

.

Среди чисел есть отличные от нуля (иначе ). Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что (в противном случае можно перенумеровать базисные векторы), следовательно,

. (10.5)

Подставив (10.5) во все равенства (10.4), начиная со второго, получим

,

…………………………………… (10.6)

.

Векторы линейно выражаются через .

Если в первом равенстве в системе (10.6) , то , и система векторов линейно зависима. Тогда, согласно теореме 2, система векторов также линейно зависима.

Если же среди есть отличные от нуля, то, не ограничивая общности рассуждений, считаем, что .

Из первого равенства в (10.6) имеем

. (10.7)

Подставим (10.7) во все равенства (10.6), начиная со второго, получим выражения через .

Процедуру повторим раза и придем к равенству

.

Один из векторов системы оказался линейной комбинацией остальных, следовательно, линейно зависимы.

Теорема доказана.

Следствие. Все базисы линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов.

Действительно, пусть (I) и (II) - два базиса в .

Допустим, . Так как система (I) - базис, то в силу теоремы 5 это означает, что система (II) линейно зависима. Это противоречит тому, что (II) - базис. Отсюда .

Допустим теперь, что . Так как система (II) - базис, то в силу теоремы 5 это означает, что система (I) линейно зависима. Это противоречит тому, что (I) - базис. Следовательно, .

Вместе эти два заключения дают .

Билет 17. Размерность линейного пространства.

Определение 6. Число векторов в любом базисе линейного пространства называется размерностью линейного пространства.

Для размерности линейного пространства принято обозначение .

В рассмотренных примерах:

1. если - линейное пространство всех геометрических векторов пространства, ;

2. если - линейное пространство всех многочленов степени , ;

3. если - линейное пространство всех квадратных матриц порядка 2, .