Вопросы к экзамену по курсу «Алгебра и геометрия»
1семестр 2020/21 уч. год (лектор Лебедев С.А.)
1.Определение определителя порядка n, его свойства.
2.Сложение матриц и умножение матриц на число, свойства этих операций.
3.Умножение матриц, свойства умножения (доказать ассоциативность).
4.Умножение матриц, свойства умножения (доказать дистрибутивность).
5.Обратная матрица, существование и единственность.
6.Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
7.Ранг матрицы. Вычисление ранга методом окаймляющих миноров.
8.Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы элементарными преобразованиями.
9.Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
10.Правило Крамера.
11.Теорема Кронекера-Капелли.
12.Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.
13.Аксиоматическое определение линейного пространства. Примеры. Следствия из аксиом.
14.Базис линейного пространства. Примеры базисов в конкретных пространствах.
15.Базис линейного пространства. Единственность разложения по базису.
16.Базис линейного пространства. Координаты суммы векторов и произведения вектора на число.
17.Размерность линейного пространства.
18.Связь между базисами линейного пространства.
19.Линейные подпространства. Примеры.
20.Линейные операторы, определения и примеры.
21.Матрица линейного оператора. Связь координат образа и прообраза.
22.Характеристический многочлен и характеристические корни матрицы.
23.Характеристические корни и собственные значения линейного оператора.
24.Евклидовы пространства. Определения и примеры. Следствия из аксиом.
25.Норма вектора. Неравенство Коши-Буняковского.
26.Линейная независимость системы ненулевых ортогональных векторов в евклидовом пространстве.
27.Процесс ортогонализации Шмидта.
28.Ортогональные и ортонормированные базисы в евклидовом пространстве.
29.Ортогональные операторы в евклидовом пространстве, их свойства.
30.Квадратичные форм. Линейные преобразования неизвестных.
31.Положительно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
1