Алгебра и геометрия / Ресурсы / Линал и Ангем Бардушкин

Министерство образования и науки Российской Федерации

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

В.В. Бардушкин, С.Г. Кальней, А.М. Ревякин

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Учебное пособие

Утверждено редакционно-издательским советом университета

Москва 2018

УДК 512(075.8) Б24

Рецензенты: докт. техн. наук, доц. М.А. Мукутадзе; канд. техн. наук П.П. Усов

Бардушкин В.В., Кальней С.Г., Ревякин А.М.

Б24 Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учеб. пособие. –

М.: МИЭТ, 2018. – 268 с.: ил.

ISBN 978-5-7256-0879-3

Изложены основные разделы курса «Линейная алгебра», читаемого авторами студентам первого курса МИЭТ. Рассмотрены примеры и решение типовых задач. Приведены задачи для самостоятельного решения, к большинству из которых даны ответы.

Для студентов технических направлений подготовки, изучающих линейную алгебру и аналитическую геометрию.

Предисловие

Настоящее учебное пособие составлено на основе лекций по кур- су «Линейная алгебра», читаемых авторами студентам факультета электроники и компьютерных технологий и факультета (института) экономики, управления и права Национального исследовательского университета «МИЭТ». Содержание издания соответствует требова- ниям Федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования.

Вглаве 1 рассматриваются понятия матрицы как прямоугольной таблицы чисел, определителя. Излагаются свойства действий с матри- цами и определителями, которые имеют многочисленные приложения в разных дисциплинах.

Вглаве 2 обосновываются методы решения систем линейных ал- гебраических уравнений. Матричная запись систем линейных алгебраи- ческих уравнений, знание основ теории матриц позволяют записывать эти системы в компактной форме, сформулировать условия существо- вания решений систем. Важное место отводится установлению структу- ры решений систем линейных алгебраических уравнений, усвоение ко- торой облегчает в дальнейшем понимание методов решения линейных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений.

Вглавах 3 – 6, относящихся к аналитической геометрии (геометри- ческие векторы, прямые и плоскости, кривые и поверхности второго порядка), развиваются понятия о векторах и операциях над ними из школьного курса геометрии, вводятся понятия векторного и смешанно- го произведения векторов, показываются применения данных понятий и метода координат к решению различных задач.

Вглавах 7 – 9 излагаются начала линейной алгебры. Множество геометрических векторов на плоскости или в пространстве с операция- ми сложения и умножения на число является основным примером для иллюстрации понятий линейного пространства, базиса в линейном про- странстве, эквивалентности действий над объектами линейного про- странства действиям над упорядоченными наборами чисел – координа- тами объекта, а скалярное произведение геометрических векторов служит основой для введения понятия евклидова пространства.

3

Вглаве 10 рассматриваются понятия и методы классификации квадратичных форм, которые используются не только в других дисцип- линах высшей математики, например при обосновании способов нахож- дения экстремумов функций многих переменных, но и в специальных технических и экономических дисциплинах.

Каждая глава учебного пособия содержит разобранные типовые задачи, а также задачи для самостоятельного решения, к большинству которых приведены ответы, а к некоторым – указания к решению.

Вучебном пособии приняты следующие обозначения: знак оз- начает окончание решения примера, знак ■ – окончание доказательства теоремы, утверждения.

4

Глава 1. Матрицы и определители

1.1. Понятие матрицы. Виды матриц

Матрицей размера m × n называется прямоугольная таблица чи- сел, содержащая m строк длины n (или n столбцов длины m ). Мат- рицы принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита:

A , B , C ,…

При этом для явного указания количества строк m и столбцов n в ка-

кой-либо матрице A размера m × n часто используется запись .

Матрицы служат для представления числовых данных в удобной для математической обработки форме. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Их принято обозначать строчными буквами латинского алфавита с указанием при помощи двух нижних индексов положения элемента в матрице. Например, если дана матрица A разме- ра m × n , то ее элементы записываются в виде aij , где i =1, 2, ..., m ,

j =1, 2, ..., n . Первый из индексов указывает номер строки, а второй – номер столбца, на пересечении которых расположен данный элемент. Так, например, если матрица A содержит не менее двух строк и не ме- нее трех столбцов, то элемент a23 находится на пересечении второй строки и третьего столбца этой матрицы.

Матрицы A и B называются равными, если равны все соответст- вующие элементы этих матриц ( aij =bij для всех возможных значений

i и j ). При этом пишут A = B .

Замечание. Из определения следует, что равными могут быть толь- ко матрицы одинакового размера.

Часто для обозначения матриц используется сокращенная форма записи. Например, для матрицы A размера m × n эта запись выглядит так:

A = (aij ) ,

где i =1, 2, ..., m , j =1, 2, ..., n .

5

Если требуется выписать все элементы матрицы Am×n , то это обычно оформляется в виде таблицы, заключенной в круглые скобки:

Элементы вида aii матрицы A размера m × n называются диаго-

нальными. Совокупность диагональных элементов a11 , a22 ,…, akk ,

где k = min(m, n) , называется главной диагональю Am×n .

Отметим, что для матрицы A размера m × n на практике возника- ет необходимость в рассмотрении совокупности вида

a1n , a2,n−1 ,…, ak ,n−k +1 ,

где k = min(m, n) , называемой побочной диагональю Am×n .

Матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу An×n называют матри-

цей n -го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Например,

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диаго- нали равен единице, называется единичной и обозначается буквой E . Например,

6

Квадратные матрицы могут иметь такой вид, что все элементы над главной диагональю (или под ней) равны нулю. Например,

Такие матрицы обычно называются треугольными. При этом треуголь-

Матрица O размера m × n , все элементы которой равны нулю, на- зывается нулевой.

Матрица A размера m × n называется ступенчатой в случае:

1)если строки, содержащие ненулевые элементы, расположены выше нулевых строк;

2)если первый ненулевой элемент каждой строки матрицы, начи- ная со второй, расположен правее первого ненулевого элемента преды- дущей строки.

Например, ступенчатой является следующая матрица:

7

Часто возникает необходимость в выполнении операции сложения некоторых элементов матрицы. В ряде случаев, используя знак суммы ∑ и индексные обозначения элементов матрицы, операцию сложения можно записать в краткой форме. Например, если A – квадратная мат- рица n-го порядка, то сумма ее элементов главной диагонали a11 + a22 + ... + ann , называемая следом матрицы и обозначаемая может быть записана следующим образом:

n

tr A = ∑aii .

i=1

Отметим, что след матрицы Am×n при m ≠ n не определяется.

Часто возникает необходимость в «двойном» суммировании элементов матрицы. Например, сумму всех элементов, стоящих на пере- сечении двух первых строк и трех первых столбцов некоторой матрицы

Эту же сумму можно записать по-другому (внутреннее суммирование по строкам):

8

Таким образом, можно не писать скобки в выражениях, содержа- щих «двойное» суммирование. В общем случае

Отметим два других свойства операции суммирования. Одно из них характеризует суммирование элементов, не имеющих индексов:

n

∑x = x + x +... + x = nx ,

Другое свойство связано со сложением нескольких элементов, каждый из которых умножается на одну и ту же константу:

Существует также способ записи произведения элементов с помо- щью знака, аналогичного ∑. Таким знаком служит заглавная греческая буква «пи» – ∏, которая обозначает перемножение всех членов, стоя- щих справа от нее. Например,

5

∏bi =b1 b2 b3 b4 b5 .

i=1

Сточки зрения техники вычислений использование знака ∏ экви- валентно применению знака ∑, только в этом случае вместо сложения необходимо выполнять умножение.

9

1.2. Операции над матрицами

Транспонирование. Операция транспонирования применима ко всем матрицам. Результатом применения транспонирования к матрице Am×n является матрица Bn×m , полученная из данной заменой каждой ее

строки столбцом с тем же номером, т.е. для всех элементов этих матриц выполняются равенства:

Сложение. Складывать можно только матрицы одинакового раз- мера. Суммой двух матриц Am×n = (aij ) и Bm×n = (bij ) называется мат-

рица Cm×n = (cij ) такая, что ее элементы вычисляются по формулам:

элементы вычисляются по формулам: bij = kaij ,

10