Предисловие
Методические указания к выполнению семестровых больших домашних заданий (БДЗ) предназначены для студентов первого курса факультета Микроприборов и технической кибернетики (МПиТК), изучающих курс «Алгебра и геометрия». Этот курс рассчитан на 64 часа (32 часа лекций и 32 часа практических занятий) и завершается экзаменом, зачет по дисциплине не предусмотрен. Форма семестровых БДЗ служит для отработки теоретического и практического материала с помощью индивидуальных заданий, которые включены во все темы курса.
Каждый параграф настоящих методических указаний начинается краткими теоретическими сведениями, затем подробно разбираются типовые задачи этой темы, в конце параграфа приводится список индивидуальных заданий, содержащий не менее 30 задач по каждой теме. В связи с этим издание занимает промежуточное положение между обычным задачником и учебником.
Текст настоящих указаний условно можно разделить на две части - аналитическая геометрия (БДЗ-1) и линейная алгебра (БДЗ-2).
Аналитической геометрии посвящены § 1 - 4.
В § 1 даны определения скалярного, векторного и смешанного произведений, приводятся их свойства и выражения в координатной форме. В § 2 приведены общее, каноническое, параметрические и нормированное уравнения прямой, поясняется смысл параметров, в них входящих, вводится формула расстояния от точки до прямой. Разобраны типовые задачи на нахождение уравнений высот, медиан, биссектрис треугольников, выяснение взаимного расположения прямых. В § 3 приведены общее и нормированное уравнение плоскости, канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Рассмотрены примеры применения этих уравнений для решения геометрических задач. В § 4 рассмотрены преобразования декартовых прямоугольных координат на плоскости и классификация кривых второго порядка по их каноническим уравнениям. Приведено подробное решение задачи приведения уравнения второго порядка к каноническому виду.
3
Большое домашнее задание-1 для каждого студента содержит 8 задач (индивидуальные задания составляют 240 задач, подробно разбираются 6 задач).
Линейной алгебре посвящены § 5 - 8, им соответствует БДЗ-2. Параграф 5 занимает в пособии центральное место. Подробно
описан метод Гаусса, приведена теорема Кронекера - Капелли, разобрано шесть типовых задач. В § 6 дается определение базиса линейного пространства, матрицы перехода от базиса к базису, линейного подпространства и линейной оболочки системы векторов. В § 7 дается определение линейного оператора в линейном пространстве, его матрицы в некотором базисе, собственного вектора линейного оператора. В § 8 приводится определение евклидова пространства, описан процесс ортогонализации Шмидта.
Большое домашнее задание-2 по линейной алгебре для каждого студента состоит из 9 задач, подробно разбираются 10 типовых задач (задания к § 4 - 8 содержат 270 задач).
4
§ 1. Векторная алгебра. Скалярное, векторное, смешанное произведение, их свойства
Скалярным произведением векторов a и b называется число
|
(a, b) | a | | b | cos(a, b). |
(1) |
Так как |
| b | cos(a, b) Прa b и | a | cos(a, b) Пр a, |
то из ра- |
|
b |
|
венства (1) следует, что |
|
|
|
(a, b) | a | Прa b | b | Прb a. |
(2) |
Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c , удовлетворяющий следующим условиям:
1) |
| c | | a | | b | sin(a, b); |
2) |
c a, c b; |
3) тройка a, b, c - правая (рис. 1) (с конца вектора c кратчайший
поворот от a к b кажется совершающимся против часовой стрелки). Будем в дальнейшем векторное
произведение a на b обозначать
[a, b].
Замечание. Длина векторного произведения [a, b] равна площади
параллелограмма, построенного на приведенных к одной точке векторах
a и b.
c
b
a
Рис. 1.
Смешанным произведением трех векторов a, b и c называется произведение (обозначаем в дальнейшем a b c )
a b c ([a, b], c). |
(3) |
5
Если i, j, k - декартов прямоугольный базис и векторы a, b и
c заданы своими координатами в нем, a {x1, y1, z1}, |
b {x2 , y2 , z2}, |
c {x3 , y3 , z3}, то |
|
|
|
|
(a, b) x1x2 y1 y2 z1z2 , |
(4) |
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|||
[a, b] |
x1 |
y1 |
z1 |
{y1z2 z1 y2 , z1x2 x1z2 , x1 y2 |
y1x2}, (5) |
|
x2 |
y2 |
z2 |
|
|
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
|
a b c |
x2 |
y2 |
z2 |
. |
(6) |
|
x3 |
y3 |
z3 |
|
|
Справедливо следующее утверждение.
Теорема.
|
|
V , |
если a, b, c - правая, |
|
|
|
|
|
|
|
a b c ([a, b], c) V , если a, b, c - левая, |
|||
|
|
|
если a, b, c - компланарны, |
|
|
|
0, |
||
|
|
|
|
|
где V - объем параллелепипеда, построенного на приведенных к одно- |
||||
му началу векторах a, |
b и c. |
|
|
|
|
Решение типовых задач |
|||
Задача 1. Даны координаты точек A, B, |
C и D в правой пря- |
|||
моугольной |
системе |
координат: |
A(5, 2, 0), |
B(2, 5, 0), C(1, 2, 4), |
D( 1,1,1). |
|
|
|
|
Найти |
( AB, AC), |
[ AB, AC], |
AB AC AD, а также проекцию |
|
AC на вектор AB, площадь ABC, объем тетраэдра ABCD.
6
Решение. Найдем координаты векторов |
AB, |
AC и AD : |
||||||||||||
AB { 3, 3, 0}, |
AC { 4, 0, 4}, |
AD { 6, 1, 1}. |
|
|
||||||||||
В силу равенства (4) получаем |
( AB, AC) 12 0 0 12; по |
|||||||||||||
формуле (5) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
i |
j |
k |
|
3 |
0 |
|
|
3 |
0 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
[ AB, AC] |
3 |
3 |
0 |
i |
|
j |
k |
= {12,12, 12}. |
||||||
|
4 |
0 |
4 |
|
0 |
4 |
|
|
4 4 |
|
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения смешанного произведения можно воспользоваться формулой (6), но, так как [ AB, AC] уже найдено, привлечем формулы
(3) и (4):
AB AC AD ([ AB, AC], AD) 72 12 12 72.
ПрAB AC найдем, использовав формулу (2):
(AB, AC) | AB | ПрAB AC.
Тогда
|
|
|
|
|
|
Пр |
|
|
AC |
( AB, AC) |
. |
|
|
|
(7) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
AB | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдем длину вектора AB, |
| AB | |
|
|
9 9 |
|
18 3 2, подста- |
|||||||||||||||||||||||||||||
вим в формулу (7): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Пр |
AB |
AC |
|
|
|
2 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В силу замечания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
122 122 122 |
||||||||||||||||||||||||||||
S |
ABC |
|
|
[ AB, AC] |
|
|
|
6 3. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
||||||||
Для нахождения объема тетраэдра, построенного на приведенных к
одной точке векторах |
|
AB, |
|
AC и AD, воспользуемся сформулиро- |
|||||||||||||||
ванной ранее |
|
теоремой, |
а также |
тем |
|
известным фактом, что |
|||||||||||||
V |
1 |
V , где |
V - объем параллелепипеда: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
тетр |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
ABCD |
|
1 |
|
([ AB, AC], AD) |
|
|
| 72 | |
12. |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогично решаются задачи 1.1 - 1.30. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 1 |
|
|
|
|
|||||
Даны координаты точек |
A, B, |
C и D в правой прямоугольной |
|||||||||||||||||
декартовой системе |
|
координат. |
Найти |
|
|
( AB, AC), [ AB, AC], |
|||||||||||||
AB AC AD, |
а также проекцию AC на вектор AB, площадь ABC, |
||||||||||||||||||
объем тетраэдра ABCD. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.1. A(1, 3, 6), |
B(2, 2,1), C( 1, 0, 1), |
D( 4, 6, 3). |
|||||||||||||||||
1.2. A( 4, 2, 6), |
B(2, 3, 0), |
C( 10, 5, 8), |
D( 5, 2, 4). |
||||||||||||||||
1.3. A(7, 4, 2), |
B(7, 1, 2), |
C(3, 3, 1), |
D( 4, 2, 1). |
||||||||||||||||
1.4. A(2,1, 4), |
B( 1, 5, 2), C( 7, 3, 2), D( 6, 3, 6). |
||||||||||||||||||
1.5. A( 1, 5, 2), |
B( 6, 0, 3), |
C(3, 6, 3), |
D( 10, 6, 7). |
||||||||||||||||
1.6. A(0, 1, 1), |
B( 2, 3, 5), |
C(1, 5, 9), |
D( 1, 6, 3). |
||||||||||||||||
1.7. A(2, 1, 1), |
B(3, 0, 1), C(2, 1, 3), |
D(0, 8, 0). |
|||||||||||||||||
1.8. A(2, 1, 2), |
B(1, 2, 1), C(5, 0, 6), D( 10, 9, 7). |
||||||||||||||||||
1.9. A( 2, 0, 4), |
B( 1, 7, 1), |
C(4, 8, 4), |
D(1, 4, 6). |
||||||||||||||||
1.10. A(4, 4, 5), |
B( 5, 3, 2), |
C( 2, 6, 3), |
D( 2, 2, 1). |
||||||||||||||||
1.11. A(1, 2, 0), |
|
B(3, 0, 3), |
C(5, 2, 6), |
D(8, 4, 9). |
|||||||||||||||
1.12. A(2, 1, 2), |
B(1, 2, 1), |
C(3, 2, 1), D( 4, 2, 5). |
|||||||||||||||||
1.13. A(1, 1, 2), |
|
B( 1,1, 3), C(2, 2, 4), |
D( 1, 0, 2). |
||||||||||||||||
1.14. A(2, 3, 1), |
|
B(4,1, 2), |
C(6, 3, 7), |
D(7, 5, 3). |
|||||||||||||||
1.15. A(1,1, 1), |
B(2, 3, 1), |
C(3, 2, 1), D(5, 9, 8). |
|||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.16. |
A(1, 5, 7), |
B( 3, 6, 3), |
C( 2, 7, 3), |
D( 4, 8, 12). |
||
1.17. |
A( 3, 4, 7), |
B(1, 5, 4), |
C( 5, 2, 0), D(2, 5, 4). |
|||
1.18. |
A( 1, 2, 3), |
B(4, 1, 0), |
C(2,1, 2), D(3, 4, 5). |
|||
1.19. |
A(4, 1, 3), |
B( 2, 1, 0), |
C(0, 5,1), |
D(3, 2, 6). |
||
1.20. |
A(1, 1,1), |
B( 2, 0, 3), |
C(2, 1, 1), |
D(2, 2, 4). |
||
1.21.A(1, 2, 0), B(1, 1, 2), C(0, 1, 1), D( 3, 0, 1).
1.22.A(1, 0, 2), B(1, 2, 1), C(2, 2,1), D(2,1, 0).
1.23. |
A(1, 2, 3), |
B(1, 0, 1), C( 2, 1, 6), |
D(0, 5, 4). |
||||
1.24. |
A(3,10, 1), |
B( 2, 3, 5), |
C( 6, 0, 3), |
D(1, 1, 2). |
|||
1.25. |
A( 1, 2, 4), |
B( 1, 2, 4), |
C(3, 0, 1), |
D(7, 3,1). |
|||
1.26. |
A(0, 3, 1), |
B( 4, 1, 2), C(2, 1, 5), |
D(3,1, 4). |
||||
1.27. |
A( 1, 0, 3), |
B(4, 2,1), C( 3, 1, 0), |
D(4,1, 5). |
||||
1.28. |
A(2, 4, 2), |
B(0,1, 3), C(1, 4, 7), |
D( 3, 0, 5). |
||||
1.29. |
A( 1, 0, 2), |
B(3, 7, 1), |
C(1, 2, 5), |
D( 4, 0, 1). |
|||
1.30. |
A(2, 3, 4), B( 5, 1, 0), |
C(2, 7,1), |
D( 3, 0, 5). |
||||
|
§ 2. Составление уравнения прямой |
||||
|
по различным ее заданиям |
|
|||
Пусть |
Oxy - произвольная декартова система координат. Всякое |
||||
уравнение вида |
|
|
|
||
|
|
Ax By C 0, |
|
(8) |
|
где A, B, C - действительные числа, A и |
y |
|
|||
B одновременно не равны нулю, определяет |
L |
n |
|||
относительно Oxy прямую линию. Обозна- |
|||||
чим ее L. |
Уравнение |
(8) называется общим |
O |
x |
|
уравнением |
прямой |
L. Вектор n {A, B} |
|||
|
Рис. 2. |
||||
называется нормальным вектором прямой L |
|
||||
|
|
||||
( n L, рис. 2). |
|
|
|
||
|
|
|
|
9 |
|
Условие параллельности двух прямых, заданных общими уравнениями
L1 : A1x B1 y C1 0, L2 : A2 x B2 y C2 0,
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
B1 |
; |
|
|
(9) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
B2 |
|
||||||
условие совпадения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
B1 |
|
|
|
C1 |
. |
|
(10) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
A2 |
|
|
|
B2 |
|
|
|
C2 |
|
|||||
|
L |
|
Пусть |
|
|
Oxy - декартова система коор- |
|||||||||||
q |
|
|
|
L - произвольная прямая. Любой век- |
|||||||||||||
динат, |
|
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
тор q |
|
такой, что q 0, q L, |
называется |
|||||||||||||
|
направляющим вектором прямой L (рис. 3). |
||||||||||||||||
Рис. 3. |
|
|
Пусть q {l, m}. Уравнение |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
y y0 |
, |
(11) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|||
где точка M0 (x0 , y0 ) L, |
q {l, m} |
|
|
- направляющий вектор прямой |
|||||||||||||
L, называется каноническим уравнением прямой L. |
|
||||||||||||||||
Обозначив отношение в формуле (11) через t, получим два уравне- |
|||||||||||||||||
ния: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
l t, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m t, |
|
|||||||||
|
|
y y0 |
|
||||||||||||||
которые при t ( ; ) называются параметрическими уравнениями
прямой L. |
|
|
Пусть Oxy |
- декартова система координат, L - |
произвольная |
прямая. Проведем |
через начало координат прямую |
L L, точку |
10 |
|
|
пересечения |
прямых |
L |
и |
L |
y |
|
|
|
|
|
OP p, |
|
|||
обозначим |
через |
P, |
L |
L' |
|||
угол (OP, Ox) (рис. 4). |
|
|
|
P |
|||
Уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
x cos y sin p 0 |
|
(12) |
|
|
|||
|
O |
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
называется |
нормированным урав- |
Рис. 4. |
|
нением прямой L (в уравнении |
|||
|
|||
(12) число |
p - расстояние от начала координат до прямой L , - угол |
||
наклона вектора OP к оси Ox ).
Воспользовавшись условиями (10), можно получить следующий результат.
Для того чтобы перейти от общего уравнения (8) к нормированному уравнению (12), нужно обе части уравнения (8) умножить на так на-
зываемый нормирующий множитель |
|
1 |
|
|
|
, знак выбира- |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
A2 B2 |
|
||||
ется противоположным знаку C в уравнении (8). |
|
|
|
|
|
|||
Расстояние от точки M0 (x0 , y0 ) до прямой |
L равно абсолютной |
|||||||
величине результата подстановки координат точки M0 в левую часть |
||||||||
уравнения (12): |
|
|
|
|
|
|
|
|
(M0 (x0 , y0 ), L) | x0 cos y0 sin p | . |
(13) |
|||||||
|
Решение типовых задач |
|
|
|
|
|||
Задача 1. |
Даны координаты вершин |
|
треугольника |
ABC : |
||||
A(1, 2), B(4, 6), C(7, 6). Найти уравнение стороны (BC), |
а также |
|||||||
уравнения высоты, медианы и биссектри- |
|
B |
|
|||||
сы, проведенных из вершины A. Все от- |
|
|
||||||
|
|
|
|
H |
|
|||
веты дать в виде общих уравнений. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
M(xM, yM) |
||||
Решение. |
На рис. 5 изображен про- |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
извольный треугольник ABC.
Находим вектор BC, BC {3, 12}. |
A |
C |
|
||
|
Рис. 5. |
|
|
|
11 |
Для стороны (BC) вектор BC является направляющим, поэтому уравнение стороны (BC) естественно искать в виде канонического уравнения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
y 6 |
, или |
|
x 4 |
|
y 6 |
, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
||||
или 4x 16 y 6, или 4x y 22 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Пусть ( AH ) - высота, опущенная на сторону (BC). Для прямой |
||||||||||||||||||||||||||||||
( AH ) |
вектор BC является нормальным, |
поэтому уравнение высоты |
|||||||||||||||||||||||||||||
( AH ) ищем в виде общего уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4y C1 0. |
|
|
|
|
(14) |
|||||||
|
Точка |
A принадлежит прямой |
( AH ), |
ее координаты удовлетво- |
|||||||||||||||||||||||||||
ряют уравнению |
(14): 1 8 C1 0, отсюда |
C1 |
7, и уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||
( AH ) имеет вид |
x 4y 7 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Пусть |
|
M (xM , yM ) |
|
- |
середина |
стороны |
(BC), |
тогда |
||||||||||||||||||||||
x |
|
4 7 |
|
|
11 |
, |
y |
|
6 6 0. Уравнение медианы ( AM ) |
ищем в |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
M |
|||||||||||||||||||||||||||
M |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
виде канонического уравнения (6). Вектор AM {9 / 2, 2} для медианы |
|||||||||||||||||||||||||||||||
( AM ) направляющий, ее уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(AM ) : |
x 1 |
|
y 2 |
, или 2x 2 |
9 |
y 9, |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 / 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
или |
4x 4 9y 18, или |
4x 9y 22 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Ищем уравнение биссектрисы, проведенной из вершины A. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Имеем |
AB {3, 4}, |
|
AC {6, 8}, найдем длины этих векторов: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
| AB | |
|
9 16 5, |
| AC | |
|
36 64 |
10. Орты векторов AB и AC - |
|||||||||||||||||||||||||
векторы eAB {3/ 5, 4 / 5}, |
|
eAC {6 /10, 8 /10} {3/ 5, 4 / 5}. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
12