Розрах
.pdfA11 ( 1)1 1
A13 ( 1)1 3
A21 ( 1)2 1
A23 ( 1)2 3
A31 ( 1)3 1
A33 ( 1)3 3
Отже:
A 1
|
A ( 1)1 2 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A ( 1)2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A ( 1)3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тепер потрібно перевірити, що побудована матриця дійсно є
оберненою |
до |
матриці A, |
тобто |
перевірити, що |
A A 1 |
або |
A 1 A |
||
дорівнює одиничній матриці. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A A 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 E |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Запишемо матричне рівняння A X B у вигляді системи рівнянь:
21
4) Матрицю невідомих знайдемо за формулою X A 1 B, де матриця
A 1 обчислена раніше у пункті (2).
Тоді: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
X x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
Отже, розв’язок системи: x1 |
,x2 |
,x3 |
||
|
|
|
|
|
5) Спочатку потрібно знайти головний визначник системи (візьмемо його з прикладу 2):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система має єдиний розв’язок. Обчислимо x1, x2 |
та x3 : |
||||
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
x3 |
|
|
|
|
|
За правилом Крамера знаходимо розв’язок системи:
x1 |
|
x1 |
|
x2 |
|
x2 |
|
x3 |
|
x3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) Записуємо систему рівнянь у вигляді розширеної матриці та за допомогою послідовних перетворень: зміни місць рядків, множення рядка на число, додавання рядків, приводимо цю матрицю до трикутного вигляду:
|
|
|
|
Від одержаної матриці переходимо до відповідної системи рівнянь:
23
Розв’язуємо систему з кінця, тобто з третього рівняння. Підставимо
значення x3 в друге рівняння і одержимо: |
x2 |
||
З першого рівняння знайдемо x1 |
|
||
|
x1 |
, x2 |
,x3 |
Зробимо перевірку:
Порівнявши відповідь з заданою системою, робимо висновок:
______________________________________________________
Тема 2. Векторна алгебра. Види добутків векторів, їх застосування.
Письмово дати відповіді на запитання та продовжити вирази:
1.Вектор – це ____________________________________________________
2.Вектори називаються колінеарними, якщо__________________________
________________________________________________________________
3.Записати умову колінеарності векторів:____________________________
4.Чому дорівнює скалярний добуток, якщо вектори задані координатами
a a1 ,a2 ,a3 ; b b1 ,b2 ,b3 ?___________________________________________
5.Кут між векторами дорівнює:_____________________________________
6.Записати умову перпендикулярності векторів:_______________________
7.Векторним добутком двох векторів називається_____________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
8.В чому полягає геометричний зміст векторного добутку?_____________
________________________________________________________________
9.Мішаним добутком векторів називається __________________________
24
________________________________________________________________
________________________________________________________________
10.В чому полягає геометричний зміст мішаного добутку?______________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
11.Вектори називаються компланарними, якщо:_______________________
________________________________________________________________
12.Записати умову компланарності трьох векторів:____________________
________________________________________________________________
Завдання 2.
Задано координати вершин піраміди АВСD: |
|
|
|
||||
А ( |
), |
В ( |
), |
С ( |
), |
D ( |
). |
Використовуючи методи векторної алгебри, знайти: |
|
|
|||||
1) |
скалярний добуток |
AB AC і кут між ребрами АВ і АС; |
|
||||
2) |
проекцію вектора |
AB на вектор AC ; |
|
|
|
3)площу грані АВС;
4)об’єм піраміди:
Розв’язання:
1) Знайдемо координати векторів AB , AC і AD , віднімаючи від
координат кінця вектору координати початку вектору:
AB xB xA ; yB yA;zB zA
AC xC xA; yC yA ;zC zA
AD xD xA ; yD yA;zD zA
Обчислимо скалярний добуток векторів AB і AC :
25
AB AC ABx ACx ABy ACy ABz ACz
Обчислимо модулі векторів AB і AC:
AB = ABx2 ABy2 ABz2 =.
AC = ACx2 ACy2 ACz2 =
Знайдемо косинус кута між векторами AB і AC:
cos( |
|
, |
|
) = |
|
|
AB AC |
|
|
|
|||||
AB |
AC |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
AC |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким чином, кут між векторами (ребрами) дорівнює:
|
|
|
|
|
|
AB, AC arccos |
|
2) Обчислимо проекцію вектору AB на вектор AC:
прAC AB AB AC AC
3) Для знаходження площі трикутника ABC скористуємося формулами:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Sпар , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
Sпар |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
AC |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
- векторний добуток |
|
|
|
і |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
AB |
AC |
AB |
AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
j |
|
|
k |
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ABx |
|
|
|
ABz |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
AB |
AC |
ABy |
i |
|
|
|
j |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ACx |
ACy |
ACz |
|
|
|
|
4 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
k |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
j |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайдемо тепер модуль векторного добутку:
26
AB |
|
AC |
|
|
2 |
2 |
2 |
Таким чином,
1
S ABC 2 AB AC
4) Відомо, що об’єм піраміди дорівнює шостій частині об’єму паралелепіпеда
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vпір |
Vпар , |
Vпар |
|
ABACAD |
. |
|||||||
|
||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайдемо мішаний добуток векторів AB, ACта AD, які є ребрами
піраміди:
|
|
|
|
|
|
ABx ABy ABz |
|
|
|
||
ABACAD |
ACx |
ACy |
ACz |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
ADx |
ADy |
ADz |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
VABCD |
|
|
ABACAD |
|
|
|
|||||||||
|
|
||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
Змістовий модуль 2
Аналітична геометрія на площині та в просторі
Тема 3. Аналітична геометрія на площині.
Письмово дати відповіді на запитання та продовжити вирази:
1. За якою формулою знаходять відстань між двома точками на площині?_
________________________________________________________________
27
2.Записати загальне рівняння прямої:________________________________
3.Який вектор називається нормальним вектором прямої?______________
________________________________________________________________
4.Записати канонічне рівняння прямої:_______________________________
5.Якій вектор називається направляючим вектором прямої?_____________
________________________________________________________________
6.Записати геометричний зміст кутового коефіцієнта:__________________
________________________________________________________________
7.Умова паралельності прямих:_____________________________________
8.Умова перпендикулярності прямих:________________________________
________________________________________________________________
9.Записати рівняння прямої у відрізках______________________________
10.Записати рівняння прямої, що проходить через дві точки:____________
________________________________________________________________
Завдання 3.
Задано координати вершин трикутника ABC.
A ( ), B ( ), C ( ).
Знайти:
1)довжину сторони BC;
2)рівняння прямої BC;
3)рівняння висоти AD на сторону BC;
4)довжину висоти AD;
28
5)рівняння медіани BE;
6)точку перетину M висоти AD і медіани BE;
7)кут між прямими AD і BE;
Розв’язання:
1) Обчислимо довжину сторони BC за формулою:
d |
x2 x1 2 y2 y1 2 , де |
x1, y1 координати точки В, |
|||
x2 , y2 координати точки С. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
d |
|
2 |
2 |
|
2)Запишемо рівняння прямої BC за формулою:
xx1 y y1 :
x2 x1 |
y2 y1 |
S
BC :
3) AD BC AD S.
Запишемо рівняння висоти ADза формулою:
~ |
~ |
y y0 |
0 |
A x x0 |
B |
29
~ |
та |
~ |
де x0; y0 координати точки A, A |
B координати вектора, |
перпендикулярного до AD, тобто ~ ~
S
B
;
A
AD:
4) Обчислимо довжину висоти AD за формулою, де Ax0 B y0 C 0 -
рівняння прямої BC.
d Ax0 B y0 C A2 B2
AD
5) Обчислимо координати точки E- середини відрізку AC:
xE xA xC
2
yE yA yC
2
Тобто, точка E ; |
. |
|
|
|
||
Запишемо рівняння медіани BE за формулою: |
||||||
|
|
x x1 |
|
|
y y1 |
: |
|
|
x2 x1 |
|
|||
|
|
|
y2 y1 |
ВЕ:
6) Визначимо точку перетину M висоти AD і медіани BE, розв’язуючи систему, складену з рівнянь цих прямих:
30