Розділ 3 Математичний аналіз

1. Границя функції

Практичне обчислення границь функцій базується на наступних теоремах:

Тоді:

1.

2.

3. при

4. для будь-якого

Приклад 1.

Знайти

Розв'язок.

Приклад 2.

Знайти

Розв'язок. 0скільки границі чисельника i знаменника при Х→2 рівні нулю, то маємо невизначеність виду . "Розкриваємо" цю невизначеність, розклавши чисельник i знаменник на множники i скоротивши їх далі на спільний множник (х - 2):

В одержаному дробі знаменник вже не прямує до нуля при х→2, тому можна використати теорему про границю частки:

Отже

Приклад З.

Знайти .

Розв' язок. Тут ми також маємо невизначеність виду . Домножимо чисельник i знамениик дробу на вираз, спряжений до чисельника (позбавимося від ірраціональності в чисeльникy):

Приклад 4.

Знайти

Розв'язок. Чисельник i знаменник дробу - нескінченно великі функції,тому тут має місце невизначеність . Розкриємо цю невизначеність. Поділимо чисельник і знаменник дробу на старшy степінь х, тoбтo на x²:

Залишилося використати властивість границь, а також те, що функції і - нескінченно малі при :

Практичне обчислення границь функцій базується також на наступних важливих границях та наслідкax із них:

Нескінченно мaлi (нескінченно великi) y точці x₀ функції f(x) i φ(х) називають еквівалентними нескінченно малими (нескінченно великими), якщо . При цьому записують f(x) ~ φ(х), х→х_o. Враховуючи границі (1) - (6) та інші, дістанемо основні еквівалентностi при х→0.

sinx ~ x	ax -1 ~ x In a	ex -1 ~ x	arcsinx~x
ln(1+ x) ~ x	(1+x)α-1~αx	tgx~x	arctgx~x

1-cosx~

Приклад 5.

Знайти .

Роза'язок. Оскільки , то тут ми також маємо capaвy з невизначеністю виду 1^∞, для розкриття якої нам буде потрібна одна із форм другої чудової границі. Тоді

Приклад 6.

Знайти

Розв'язок. Поділимо чисельник і знаменник дробу на x. Будемо мати

Приклад 7.

Знайти

Розв'язок. Зробимо заміну y=2x i застосуємо границю (4), одержимо:

Приклад 8.

Знайти

Розв'язок. Maємо:

Завдання 6

0бчислити границі (не користуючись правилом Лопіталя)

3.2 Похідна функції та її обчислення

Наведемо правила, що найчастіше використовуються при обчисленні похідних:

1) похідна вiд сталої: С' = 0;

2. похідна суми: (u + v)' = u' + v';

3. пoxiднa добутку:

(uv)'= u' • v + uv', зокрема (сu)' = cu';

2. похідна частки:

зокрема

2. похідна складної функцій:

де

2. похідна функції y= f(х), заданої параметрично системною х= x(t),

у = у(t), t є (α; β):

7) похідна степенево-показникової функції:

8) похідна неявно заданої функції F(х,у) = 0: похідна по x від обох частин рівності F(х,у) = 0, вважаючи y функцією від x, i одержане рівняння розв'язати відносно y' .

Основні формули диференціювання запишемо y вигляді наступної таблиці:

1. зокрема,

2.

3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

Логарифмічно похідною функції y = f(x) називають похідну від логарифма цієї функції, тобто . Застосування попереднього логарифмування часто спрощує обчислення, оскільки y' = y (ln y)'.

Приклад 1.

Знайти похідну функції

Розв'язок. Логарифмуючи задану рівність, дістанемо

.Користуючись логарифмічною похідною, маємо

Звідки:

Приклад 2.

Знайти похідну степенево-показникової функції

Розв'язок. Згідно з правилом 7) при tgx > 0 зхаходимо:

Приклад 3.

Знайти похідну неявно заданої фyнкцiї y:

х^з + у^з = sin(x - 2у).

Розв'язок. Диференціюємо обидві частини рівняння i враховуємо, що y - є функція від х(тому, наприклад, (у^з )'_x = 3у²• y' ), одержимо:

3х² +3y²y'=cos(x-2y)(1-2y') або 3х²+3y²y'=cos(х-2у)-2у'cos(х-2у)

Звідси знаходимо y':

Зу² •у'+2у' • cos(x-2y) = cos(x-2y) -3х²

у'(Зу²+2соs(х-2у) = cos(x-2y) -3х²,тобто

Приклад 4.

Переконатися в тому, що функція y= е^3х + x² є розв'язком рівняння y' - Зу + 3х² - 2x = 0.

Розв'язок. Оскільки похідна заданої функції , то підставляючи значения y' i y в задане рівняння, дістанемо тотожність 0 0, що й доводить дане твердження.

Зауважимо, що похідна f'(x) від функції f(х) називаеться також похідною першого порядку. Похідна від функції f' (x) називаеться похідною другого порядку вiд функції (х) i позначається (x).

Аналогічно визначається похідна третього порядку, яка позначається .

Приклад 5.

Знайти , де

Розв΄язок. Знаходимо першу похідну:

Звідси одержимо другу похідну - , а потім і шукану третю: .

Завдання 7

У прикладах a), б), в) знайти пoхідну вказаної функції, a y прикладі г) показати, що функція задовольняє вкaзане співвiдношення.

Дослідження функції методами диференціального числення та побудова їх графіків.

При побудові графіка даної функції доцільно користуватися наступною схемою;

1) знайти область визначення функції;

2) дослідити функцію на парність, непарність і періодичність;

3) знайти точки перетину графіка функції з осями координат;

4) знайти проміжки знакосталості функції;

5) знайти асимптоти;

6) знайти проміжки зростання і спадання, екстремуми;

7)знйти проміжки опуклості вниз та вгору, точки перетину.

Зауваження. У деяких випадках зручно змінювати порядок указаних пунктів.

Приклад.

Провести повне дослідження функції y= і побудувати її графік.

Розв΄язок.

Область визначення функції – вся числова вісь, крім точок x = -2 і x = 2, тобто . Функція неперіодична. Дослідимо її на парність і непарність:

Отже, дана функція непарна i її графік симетричний відносно початку координат. Тому далі будемо досліджувати функцію тільки при x 0 Знайдемо точки перетину графіка з осями координат:

з віссю Оy гpафік перетинасться при x = 0, звідси y = (0) = 0, тобто М(0;0) - точка перетину з віссю Оy;

з віссю Ox графік перетинається, якщо f(x) = 0, тобто , звідки х= 0. Таким чином, M ( 0;0 ) - єдина точка пеpетинy гpафiка з осями координат.

Знаходимо проміжки знакосталості функції:

i оскільки ми розглядаємо тільки

випадок x 0, то одержуємо 0< x< 2.

Аналогічно f(x) < 0 при x > 2.

Далі, =+∞, =-∞ тобто пряма х = 2 – вертикальна асимптота. Звідси, в силу симетрії, випливає, що пряма х=-2 – також вертикальна асимптота.

Знайдемо похилі асимптоти:

k===-1,

b====0, тобто пряма y=-x-похила асимптота при x→+∞ (те саме i при х ). Горизонтальних асимптот графік намає. Знайдемо проміжки монотонності i екстремуми функції, досліджуючи першу похідну:

Звідси видно (див. рис. 1), що при х0 функція має максимум в точці

(причому ), зростає на (0;2) i () і спадає на

Рис. 1

Щоб визначити проміжки опуклості і точки перегину, обчислимо другу похідну:

Звідси зрозуміло, що при x функція випукла вropy ( тобто < 0) на (2;+ ) i випукла вниз (тoбтo f "(х) > 0) на (0;2), x = 0 - точка перегину.

Враховуючи проведено дослідження, будуємо графік функції при x0, a потім симетрично відображаємо його віднoсно початку координат (див. pиc.2).

Рис.2

Завдання 8

Дослідити методами диференціального числення функції та побудyвати їх графіки.