Красс

Рис. 5.1

При f'(x) > О (f'{x) < 0) имеем признак строгой монотонности, т.е. функция возрастает (убывает). Геометрическая интерпретация связи знака производной функции и характера ее изменения очевидна (рис. 5.1): если углы наклона касательных на каком-то интервале являются острыми, то функция на этом интервале возрастает: tg (p > 0; при тупом угле наклона касательной функция убывает и tg ср < 0.

Точки локального экстремума

Определение 1. Точка xq называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если для любого х Ф Xq в некоторой окрестности точки жо выполнено неравенство 1Ы > fix) (f(x0) < /(яг)).

Локальный минимум и локальный максимум объединены общим названием локальный экстремум.

ТЕОРЕМА 3 (необходимое условие существования локального экстремума). Если функция f(x) дифференцируема в точке xq и имеет в этой точке локальный экстремум, то /'(а*) =0.

Геометрический смысл теоремы 5.3 указан на рис. 5.2: если в точках локальных экстремумов существуют касательные, то они параллельны оси Ох.

Точки, в которых касательные параллельны оси Ох, а значит, производная равна нулю, называют точками возможного экстремума, или стационарными точками. Если xq — точка возможного экстремума, т.е. /'(xq) = 0, то она может и не

80