Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский институт железнодорожного транспорта, филиал ИрГУПС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

11 Дифференциальные уравнения.doc

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

3.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

11.2. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение вида

. (11.12)

Интегрирование дифференциальных уравнений -го порядка (в конечном виде) удается произвести только для некоторых частных случаев.

Решение уравнения находится -кратным интегрированием, а именно:

, ,

……………………………………………………

где

Так как ,, … являются постоянными величинами, то общее решение может быть записано так:

Пример 15. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим

Порядок уравнения вида

можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных данного уравнения, т.е. полагая . Тогда получим уравнение

Таким образом, порядок уравнения понижается на единиц.

Пример 16. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Поскольку уравнение не содержит , то полагая, имеем. Получаем дифференциальное уравнение

Разделив его на , получим линейное неоднородное уравнение

Решая однородное уравнение, получаем

, ,.

Решаем неоднородное уравнение, например, методом вариации постоянных:

, ,,.

Таким образом, решением является

Т.к. , имеем

Интегрируя, получим общее решение

или

Уравнение вида

допускает понижение порядка на единицу, если положить , а за новый аргумент принять сам. В этом случае,, … выразятся черези производные отпопо формулам

, , …

(они выводятся по правилу дифференцирования сложной функции), причем порядок уравнения понизится на единицу.

Пример 17. Найти решение уравнения

Решение. Положив и принявза новую независимую переменную, получим. Тогда данное уравнение можно записать в виде

Полученное уравнение – с разделяющимися переменными:

или .

Интегрируя, получаем

, .

Т.к. , то приходим к следующему уравнению относительно

Находя интеграл, получаем

или окончательно

11.3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение

, (11.13)

где коэффициенты ,, …,,- некоторые действительные числа, называетсялинейным однородным уравнением n -го порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение уравнения (11.13) определяется формулой

где ,, …,- его линейно независимые частные решения.

Для нахождения частных решений уравнения (11.13) составляют характеристическое уравнение

, (11.14)

которое получается из уравнения (11.13) заменой производных искомой функции соответствующими степенями , сама функция заменяется единицей. Уравнение (11.14) является уравнением-й степени и имееткорней (действительных или комплексных, среди которых могут быть и равные).

Общее решение дифференциального уравнения (11.13) строится в зависимости от характера корней уравнения (11.14):

каждому действительному простому корню в общем решении соответствует слагаемое вида;
каждому действительному корню кратности в общем решении соответствует слагаемое вида;
каждой паре комплексных сопряженных простых корней в общем решении соответствует слагаемое вида;
каждой паре комплексных сопряженных корней кратностив общем решении соответствует слагаемое вида.

Пример 18. Решить уравнение

Решение. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Соответствующее ему характеристическое уравнение

имеет действительные корни ,. В соответствии с п.1 общее решение записывается в виде

Пример 19. Найти решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение

имеет равные корни . В соответствии с п.2 получаем общее решение исходного уравнения в виде

Пример 20. Решить уравнение

Решение. Имеем:

, ,.

На основании п. 3 получаем общее решение уравнения:

Пример 21. Решить уравнение

Решение. Здесь характеристическое уравнение

имеет различные действительные корни ,,, поэтому общим решением исходного уравнения в соответствии с п.1 будет

Пример 22. Найти решение уравнения

Решение. Имеем соответствующее характеристическое уравнение

, ,.

Поэтому согласно п.4 общее решение имеет вид

Дифференциальное уравнение

(11.15)

называется линейным неоднородным уравнением с постоянными коэффициентами.

Общее решение уравнения (11.15) определяется формулой

где - общее решение соответствующего однородного уравнения (11.13), а- частное решение данного неоднородного уравнения.

В общем случае частное решение уравнения (11.15) может быть найдено с помощью метода вариации постоянных (метода Лагранжа). Если

общее решение однородного уравнения (11.13), то общее решение неоднородного уравнения (11.15) ищут в виде

Функции ,, …,находят из решения системы уравнений:

(11.16)

Пример 23. Найти решение задачи Коши

с начальными условиями ,.

Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид

Имеем характеристическое уравнение

Ему соответствуют корни и. Тогда общее решение однородного уравнения:

Применим метод вариации постоянных. Для этого решение данного неоднородного уравнения ищем в виде

Для определения функций ,записываем систему уравнений (11.16):

Решая ее (т.к. решение ищем в окрестности точки , то), получаем

, .

Интегрируя, находим

, .

Записываем полученное общее решение данного неоднородного уравнения

Используя начальные условия, определяем константы и. Т.к.

то . Т.к.

то . Таким образом, решением задачи Коши является

В простейших случаях частное решение может быть найдено с помощью метода неопределенных коэффициентов. Этот метод применим только в том случае, если правая часть уравнения (11.15) имеет специальный вид. Укажем возможные случаи и соответствующие им виды частных решений:

, где - полином от, который может, в частности, быть заданным постоянным числом, отличным от нуля. Тогда частное решение неоднородного уравнения (11.15) можно найти в виде, где- полином той же степени, что и, но с неопределенными коэффициентами, а- число корней характеристического уравнения, равных нулю.
, где - полином от. Тогда частное решение следует искать в виде, где- полином той же степени, что и, а- число корней характеристического уравнения, равных.
, где и- полиномы от. (Эти полиномы, в частности, могут быть постоянными числами, и один из них – тождественным нулем). Пусть- наивысшая из степеней полиномови. Тогда частное решение следует искать в виде

где , - полиномы степени с неопределенными коэффициентами,- число корней характеристического уравнения, равных.

, где ,, …,- функции вида, рассмотренного в п.п. 1-3. Если,, …,- частные решения, соответствующие функциям,, …,,

то является частным решением уравнения (11.15).

Пример 24. Найти общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению имеет вид

Его корнями являются . Им соответствует общее решение

Согласно п.1 частное решение ищем в виде

где и- неизвестные коэффициенты. Дифференцируядважды и подставляя,,, находим

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства:

: ;

: ,

находим ,. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид, а его общее решение

Пример 25. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

Решая отвечающее ему характеристическое уравнение

получаем корни ,. Следовательно,

Перейдем к отысканию частного решения исходного уравнения. Здесь правая часть имеет вид, т.е. соответствует п. 2 с,. Т.к. числоне является корнем характеристического уравнения, тоk =0 . Следовательно, частное решениенужно искать в виде

где ,и- некоторые неизвестные коэффициенты. Для их отыскания воспользуемся тем, чтодолжно быть решением исходного уравнения. Найдем и :

;

теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

Сокращая обе части полученного равенства на и группируя члены при одинаковых степенях, в результате получим

Это равенство тождественно выполняется только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равны между собой. Итак, для отыскания коэффициентов,иимеем следующую систему уравнений:

: ;

: .

Решая эту систему, найдем ,,. Таким образом, получаем искомое частное решение

Теперь можно записать общее решение исходного уравнения:

Пример 26. Найти решение уравнения

удовлетворяющего краевым условиям ,.

Решение. Характеристическое уравнение

имеет корни ,, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения

Частное решение , согласно п.3 следует искать в виде

т.к. ,;является простым корнем характеристического уравнения, поэтому; кроме того,. Итак, дифференцируядважды и подставляя производные в исходное уравнение, получим

Приведя подобные, получим

;

Приравнивая коэффициенты при ив правой и левой частях полученного равенства, имеем

: ,

т.е. ,. Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид

а общее решение исходного уравнения

Постоянные инайдем, используя краевые условия. Имеем

и, далее,

Таким образом,

откуда получим систему уравнений

решая которую, находим , . Таким образом, решение исходного уравнения, удовлетворяющее поставленным краевым условиям имеет вид

Пример 27. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Находим сначала . Характеристическое уравнение

имеет корни ,, поэтому

Переходим к нахождению . Здесь правая частьисходного уравнения представляет собой сумму функцийи. Согласно п.4 будем искать частные решения,для каждой из функций в отдельности.