Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский институт железнодорожного транспорта, филиал ИрГУПС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

11 Дифференциальные уравнения1.doc

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

3.64 Mб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

11. Дифференциальные уравнения

11.1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида

где - независимая переменная,- искомая функция,- ее производная называется обыкновеннымдифференциальным уравнением первого порядка.

Если это уравнение можно разрешить относительно , то оно принимает вид

(11.1)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Решением дифференциального уравнения называется дифференцируемая функция ,^{^}, которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Условия

при , (11.2)

при которых функция принимает заданное значениев заданной точке, называютначальным условием.

Общим решением уравнения(11.1) в некоторой областиплоскостиназывается функция, зависящая оти произвольной постояннойи обладающая следующими свойствами:

она является решением уравнения (11.1) при любом значении постоянной ;
при любых начальных условиях (11.2) таких, что , существует единственное значение постояннойтакое, что функцияудовлетворяет данному начальному условию.

Частным решением уравнения(11.1) в областиназывается функция, которая получается из общего решенияпри определенном значении постоянной.

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения (11.1), удовлетворяющее начальному условию (11.2), называется задачей Коши.

Пример 1. Показать, что функцияудовлетворяет уравнению.

Решение. Имеем

Подставим ив левую часть уравнения:

Получили тождество . Следовательно, функцияявляется решением данного уравнения.

Пример 2. Показать, что функцияслужит решением дифференциального уравнения второго порядка.

Решение. Находим,.подставив выражение дляив данное уравнение, получим

т.е. функция действительно является решением данного дифференциального уравнения.

Пример 3. Проверить, что функция, определяемая уравнением, является решением дифференциального уравнения.

Решение. Продифференцируем обе части равенствапо переменнойс учетом того, что; тогда получим

, или , откуда.

Пример 4. Составить дифференциальное уравнение семейства окружностей.

Решение. Дифференцируя данное выражение, получаем, откуда. Исключаем теперь произвольную постоянную. Для этого из последнего уравнения находим, подставляя его в данное уравнение, получим

Это и есть дифференциальное уравнение данного семейства окружностей.

Дифференциальное уравнение вида

, (11.3)

где ,,,- непрерывные функции, называетсядифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Если ни одна из функций ,,,тождественно не равна нулю, то в результате деления уравнения (11.3) наоно приводится к виду

Почленное интегрирование этого уравнения приводит к соотношению

которое и определяет (в неявной форме) решение уравнения (11.3)^{^}.

Пример 5. Найти общее решение уравнения

и выделить интегральную кривую, проходящую через точку .

Решение. Данное уравнение можно переписать в виде

или .

Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными (коэффициент при - функция только от, коэффициент при- функция только от).

Интегрируя, получим общее решение

Полагая в нем ,, находим. Таким образом, частное решение, проходящее через точку-.

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Вынося общие множители за скобки, данное уравнение можно записать так:

откуда видно, что это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части последнего уравнения на произведение , получим

Интегрируя это уравнение, находим

или

откуда получаем общее решение:

Уравнение вида

называется однородным.

С помощью подстановки , где- новая неизвестная функция, оно преобразуется к уравнению с разделяющимися переменными.

Уравнение

, (11.4)

для которого

преобразованием

где постоянные инаходятся из системы уравнений

сводится к однородному уравнению.

При преобразованиемуравнение (11.4) сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Разделим числитель и знаменатель правой части данного уравнения на, получим:

Делаем подстановку , где- новая неизвестная функция. Тогдаи уравнение приводится к виду

или .

Разделяем переменные:

Интегрируя, получаем

2 arctg z - 3 ln(1+ z²)= ln+C.

Заменяя на, получим общее решение данного уравнения:

или .

Пример 8. Найти общее решение уравнения

Решение. Это уравнение вида (11.4):

при этом .

Вводим новые переменные ,,

где идолжны удовлетворять системе уравнений

Решая эти уравнения, находим ,.

Таким образом, ,;,.

Исходное уравнение преобразуется к виду

или

В полученном однородном уравнении положим , откуда; приходим к уравнению с разделяющимися переменными:

Преобразуем последнее уравнение:

Разделяя переменные, получим

Пользуясь формулой

из последнего уравнения находим

или .

Отсюда

Подставляя сюда , получим

или .

Перейдем к переменным ипо формулам,:

Раскрыв скобки и заменив полученную в уравнении константу на , получим общее решение исходного уравнения:

Уравнение вида

, (11.5)

где и- непрерывные функции, называетсялинейным дифференциальным уравнением первого порядка(ивходят в первых степенях, не перемножаясь между собой).

Если , то уравнение (11.5) называется линейнымоднороднымуравнением. Если, то уравнение (11.5) называется линейнымнеоднороднымуравнением.

Общее решение линейного однородного уравнения (11.4) легко получается разделением переменных:

; ;,

или, наконец,

где - произвольная постоянная.

Решение линейного неоднородного уравнения ищется методом Бернуллив виде

Подстановка выражений для ив уравнение (11.5) приводит его к виду

В качестве выбирают одну из функций, удовлетворяющих уравнению

тогда функция определяется из уравнения

Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения методом Лагранжа или методом вариации постоянных, полагая

где - некоторая дифференцируемая функция от.

Для нахождения нужно подставитьв исходное уравнение (11.5), что приводит к уравнению

Отсюда

где - произвольная постоянная. Тогда искомое общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид

Уравнением Бернуллиназывается уравнение вида

, (11.6)

где - действительное число. В случае,уравнение (11.6) является линейным. Во всех других случаях оно сводится к линейному с помощью подстановки

Пример 9. Найти общее решение уравнения

Выделить решение, удовлетворяющее условию .

Решение. Разделим переменные в данном уравнении:

Интегрируя, получим

или .

Решение, удовлетворяющее поставленному начальному условию, имеет вид

; ;.

Пример 10. Решить уравнение

Решение. Разделив левую и правую части данного уравнения на, приходим к линейному неоднородному уравнению:

Применим метод Бернулли. Пусть , тогдаи уравнение примет вид

Положим

или .

Проинтегрировав, найдем какое-либо частное решение этого уравнения, например, при

и .

При этом данное уравнение обратится в уравнение

или .

Решая это уравнение, получим

Таким образом, окончательно имеем

Пример 11. Решить уравнение

при начальном условии .

Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид

Разделив переменные, получим

, ,.

Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде

где - неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнениеи, придем к уравнению

или

откуда

Интегрируя по частям при ,и,, получим

Таким образом, получаем общее решение исходного уравнения

Используя начальное условие , получим, откуда. Следовательно, искомое решение задачи Коши.

Пример 12. Найти общее решение уравнения

Решение. Преобразовав уравнение к виду

убеждаемся, что это уравнение Бернулли с . С помощью подстановки

, ,

данное уравнение приводится к линейному

Решая однородное уравнение

, ,,

получаем .

Ищем решение неоднородного уравнения в виде

, .

Подставляем в уравнение

или .

Разделяя переменные и интегрируя, получаем

, .

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения имеет вид

или, после замены ,

Уравнение вида

, (11.7)

где левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции в некоторой области, называетсяуравнением в полных дифференциалах.

Его можно записать в виде

где - такая функция, что. Отсюда следует, что общее решение уравнения (11.7) имеет вид. Решение сводится к отысканию функции.

Для того чтобы уравнение (11.7) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области , в которой функциииопределены, непрерывны и имеют непрерывные частные производныеи, было выполнено условие

. (11.8)

В том случае, когда условие (11.8) выполнено, общий интеграл уравнения (11.7) можно записать в виде

или

, (11.9)

где - произвольная фиксированная точка области.

Если условие (11.8) не выполнено, то уравнение (11.7) не является уравнением в полных дифференциалах. Однако в некоторых случаях его можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением на функцию , которая называетсяинтегрирующим множителем.