vsshaya_matematika__chast__1

Пример 2. Даны векторы a1 {2,4,3,2} , a2 {4,2,2,8} , a3 {4,5,8,7} , a4 {6,7,5,3} и b {18,24,19,6} . Показать, что векторы a1, a2, a3,a4 образуют базис и найти координаты вектора b в этом базисе.

Решение. Система векторов a1, a2, ,ak называется линейно независимой, если равенство

x1 a1 x2 a2 xk ak 0

имеет место только при нулевых значениях коэффициентов. Система n линейно независимых векторов в n-мерном пространстве называется базисом этого пространства. По векторам базиса можно разложить любой вектор пространства, причём единственным образом. Коэффициенты такого разложения называются координатами вектора в данном базисе.

Составим определитель из координат векторов a1, a2, a3,a4 и вычислим его:

Так как 0 , то векторы a1, a2, a3,a4 образуют базис. Для вычисления

координат вектора b в этом базисе составим систему линейных уравнений:

2x1 4x2 4x3 6x4 18

4x1 2x2 5x3 7x4 24

3x1 2x2 8x3 7x4 19

2x1 8x2 7x3 3x4 6

Решая эту систему, получаем x1 2 , x2 0 , x3 1, x4 3 . Следовательно b {2,0, 1,3} в рассматриваемом базисе, или

b 2a1 a3 3a4 .

9

координат. Требуется 1) построить линию по точкам; 2) найти уравнение данной линии в декартовой системе координат.

Решение. Составим таблицу значений и построим линию в полярной системе координат (рис. 2.2).

Для получения уравнений в декартовой системе координат используем формулы перехода от полярной системы координат к декартовой, приведённые в Примере 1. Имеем:

Рис. 2.2. Эллипс

10

Возводя обе части равенства в квадрат, выделив полный квадрат и

каноническое уравнение эллипса с центром в точке (0, −1), большой по-

Решение: 1) умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю:

Пример 5. Исследовать функцию y g(x) на непрерывность; если имеются точки разрыва – определить их тип. Сделать чертёж.

11

Решение. Функция g(x) определена на всей числовой оси, кроме точки x 0 . Исследуем поведение функции в этой точке:

Следовательно, в точке x 0 функция g(x) имеет бесконечный разрыв. Исследуем далее поведение функции в точке x 1:

Найденные односторонние пределы функции конечны, но различны. Поэтому в точке x 1 функция имеет конечный разрыв, величина скачка равна

Во всех остальных точках функция g(x) непрерывна. График представлен на рис. 2.3.

Рис. 2.3. График функции g(x)

12

Пример 6. Провести полное исследование и построить график функции

y2x2 4 . x2 1

Решение: 1) область определения D(y ) ( ; 1) ( 1;1) (1; ) ;

рична относительно 0, следовательно, функция является чётной;

4)функция не является периодической;

5)функция не является ограниченной;

6)найдём нули функции:

7)определим промежутки знакопостоянства: y 0 при 2x2 4 0 . x2 1

Рис. 2.4. Промежутки знакопостоянства

13

8) с помощью производной первого порядка найдём промежутки возрастания и убывания функции:

9) с помощью производной второго порядка найдём промежутки выпуклости и вогнутости функции:

Рис. 2.6. Промежутки выпуклости и вогнутости

В точках x 1 вторая производная не существует; функция выпукла при x ; 1 1; , вогнута при x 1;1 (рис. 2.6).

14

10) построим график (рис. 2.7).

Рис. 2.7. График функции y=f(x)

Пример 7. Найти неопределенные интегралы:

15

Пример 9. Сжатие x винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия её на 0,01 м нужна сила 10 Н.

Решение. Так как x=0,01 м при F=10 Н, то, подставляя эти значения в равенство F=kx, получим 10=kÄ0,01, откуда k=1000 Н/м. Искомую работу найдём с помощью определённого интеграла

0,04

A 1000x dx 500x2 0,04 0,8 (Дж).

0

0

Пример 10. Треугольная пластинка с основанием 0,2 м и высотой 0,4 м погружена вертикально в воду так, что вершина лежит на поверхности воды, а основание – параллельно ей. Плотность воды1000 кг/м3. Вычислить силу давления воды на пластинку.

16

Решение. Выделим на глубине x горизонтальную полоску шириной dx (рис. 2.8). Изменение глубины x на малую величину dx вызовет изменение силы давления Р на малую величину dP . Площадь полоски

S ydx.

Из подобия треугольников АВС и DЕС имеем y : 0,2 x : 0,4 , откуда y 0,5x. Следовательно,

S 0,5xdx.

Элементарная сила давления (Н) составляет

dP 9,807 x S 9807x 0,5xdx 4903,5x2dx.

Интегрируя dP при изменении x от 0 до 0,4, получим

Рис 2.8. Треугольная пластинка

17

3. ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ

Контрольная работа № 1

Линейная алгебра

1–10. Дано комплексное число a . Требуется: 1) записать число a в алгебраической, тригонометрической и показательной формах; 2) найти все корни уравнения z3 a 0 и изобразить их на комплексной плоскости.