Лабораторная работа № 2 обработка результатов косвенных измерений

Цели и задачи: ознакомление с методикой определения погрешности косвенных измерений физических величин

Содержание работы:

Если в процессе многократных измерений прибор дает одни и же показания, то повторения измерений теряет смысл – достаточно провести его один раз. Это получается в том случае, когда абсолютная погрешность рабочего измерительного прибора будет больше, чем остаточные погрешности отдельных измерений Предельная абсолютная погрешность либо указана в техническом паспорте измерительного прибора, либо определяется половиной цены наименьшего деления его шкалы

Если, например, при измерении стороны куба штангенциркулем было получено значение мм, а цена деления штангенциркулямм, то предельная абсолютная погрешность измерения равна относительной погрешности штангенциркуля:

( 1.2.1)

Результат измерения следует записать так:

мм (1.2.2)

Часто дают значение разных величин, измеренных заранее: число , физические постоянные, табличные данные. В таких случаях абсолютную погрешность принимают равной ее предельной величине, т.е. равной половине единицы наименьшего разряда, представленного в числе. Например, если масса тела равна 636,4 г, то абсолютная ошибка равна половине последнего разрядного числа 0,05 г. Тогда результат измерения массы надо записывать так:m = (636,4 ±0,05) г. Для числа π абсолютная погрешность равна 0,005.

В общем случае искомая величина является функцией одной или нескольких величин. Например, электрический ток в проводнике является функцией разности потенциалов на концах проводника и его сопротивления. Поэтому для определения силы тока необходимо провести ряд прямых измерений – напряжения и сопротивления, а затем уже вычислить искомую величину. В таком случае говорят о косвенных измерениях.

Пусть искомая величина А есть функция измеряемой величины :

A= (1.2.3)

Абсолютная ошибка измеренной величины A приводит к появлению ошибки . Разложение правой части в ряд Тейлора дает:

(1.2.4)

Ограничимся двумя членами этого ряда, так как остальные члены являются бесконечно малыми высшего порядка. Тогда:

(1.2.5)

Согласно (1.2.3.), имеем:

(1.2.6)

То есть абсолютная ошибка функцией равна произведению производной этой функции на абсолютную ошибку аргумента.

Пусть искомая величина А зависит от п переменных:

(1.2.7)

Тогда дифференциал функции многих переменных можно представить в виде:

(1.2.8)

где - частные производные, при вычислении которых все аргументы, кроме, считаются постоянными, а по величине дифференцирование производится так же, как для функции одной переменной.

Вместо абсолютной погрешности часто бывает удобно вычислить относительную погрешность. Относительная погрешность может быть представлена в виде:

(1.2.9)

Когда функция  имеет одночленную (логарифмическую) форму, то и вывод формул, и расчеты по ним оказываются проще, если использовать правило (1.2.9.). Выражение (1.2.8.) можно использовать для нахождения ошибки, если заменить знак дифференциала, на знак ошибки:

(1.2.10)

или

(1.2.11)

Общий результат записывают в виде:

(1.2.12)

Таким образом, для определения погрешности результатов косвенных измерений необходимо:

1. Прологарифмировать расчетную формулу.

2. Взять полный дифференциал от обеих частей равенства.

3. Заменить знак d на знак , все знаки минус - на знак плюс.

4. По формуле (1.2.11) найти относительную ошибку.

5. Зная , определить абсолютную ошибку:

(1.2.13)

6. Результат записать в форме (1.2.12).

Абсолютную погрешность результата следует округлять до одной значащей цифры, а результат измерений округлить до того порядка, в котором начинается погрешность.

В качестве примера рассмотрим вычисление объема шара. Он равен

(1.2.14),

где R - радиус шара, который непосредственно измеряется. Объем шара есть величина, измеряемая косвенно. Пусть радиус измеряется с помощью штангенциркуля, цена деления которого равна 0,1 мм и результат непосредственного измерения с учетом погрешности имеет следующее значение:

мм (1.2.15)

Рассчитаем объем шара по формуле (1.2.14), он равен 45806,5 мм³. Далее рассчитываем погрешность по формуле:

(1.2.16)

Что касается погрешности , то она может быть сделана сколько угодно малой, если взятьс достаточным количеством знаков. Тогда ими можно пренебречь. Окончательно:

(1.2.17)

имм³, мм³. Абсолютную погрешность результата обязательно следует округлить до одной значащей цифры, а результат измерений (в рассматриваемом примере V) округлить до того порядка, в котором начинается погрешность. В данном случае следует округлить до сотен.

В итоге результат измерения объема шара запишем так:

(1.2.18)

Оборудование: линейка, штангенциркуль, микрометр, весы с разновесками, набор тел правильной геометрической формы

Порядок выполнения работы:

Необходимо рассчитать плотность тел правильной геометрической формы (прямоугольный параллелепипед, цилиндр, шар).

1. Определить массу тела (параллелепипед, цилиндр, шар) и записать результаты измерения с учетом точности.

2. Измерить размеры тел с помощью штангенциркуля, определить погрешности, записать результаты измерения.

3. Определить плотность измеряемого тела с помощью следующих формул:

а) для параллелепипеда

(1.2.19)

где m - масса , h - высота, b - ширина, - длина параллелепипеда;

б) для цилиндра

(1.2.20)

где m - масса, R - радиус основания, h - высота цилиндра;

в) для шара

(1.2.21)

где m - масса, R - радиус шара.

4. По формуле (1.2.11) вычислить относительные ошибки:

а) для параллелепипеда

(1.2.22)

б) длина цилиндра

(1.2.23)

в) для шара

(1.2.24)

5. По формуле (1.2.13) вычислить абсолютную ошибку.

6. Окончательный результат записать в виде (1.2.12)

7. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу.

№	Тело	m, кг	m, кг	h, м	b, м	l, м	R, м	h=b= =l=R, м	  , кг/м3	, %
1	Паралле- лепипед						-
2	Цилиндр				-	-
3	Шар			-	-	-

Контрольные вопросы:

1. Как определяются приборные погрешности?

2. Как устанавливаются абсолютные погрешности физических постоянных?

3. Как оценивается точность косвенных измерений?

Литература:

1. Исатаев С.И., Аскарова А.С., Бердибаев М.С. и др. Лабораторный практикум по механике. – Алматы: РИК, 2000.

2. Сулеева Л.Б., Полякова Л.М., Спицын А.А., Бегимов Т.Б., Джумабаев Р.Н. Механика и молекулярная физика. Физический практикум. – Алматы: Мектеп, 2003.

3. Трофимова Т.И. Курс физики: Учебное пособие для инженеров технических специальностей ВУЗов. Изд. 6-е/7-е. - М.: Высшая школа, 1999.