298 Электронные измерительные системы

Результатом перемножения будет выходной сигнал в форме слова конеч­ной длины. Производимое при этом усечение эквивалентно добавлению на выходе перемножителя шума квантования со стандартным отклонением s₄. Поскольку этот источник шума можно считать независимым по отношению к двум источникам, упоминавшимся ранее, мы можем результирующую дисперсию представить в виде:

Длина слов, которыми представлены участвующие в этом примере пере­менные, не обязательно должна быть одинаковой. Поскольку соответствую­щие плотности распределения вероятностей являются равномерными, дис­персия каждой из этих переменных равна (1/12) (LSB)², где LSB — значение единицы в младшем разряде. Вот почему важно, чтобы число перемножений при обработке сигнала было возможно меньшим и сами перемножения рас­полагались возможно ближе к месту получения конечного двоичного ре­зультата.

В заключение можно сказать, что квантование в системе сбора и обра­ботки данных приводит к возникновению шума, который

- добавляется к квантованным составляющим на выходе;

- имеет равномерное распределение вероятностей по величине;

- имеет стандартное отклонение (среднеквадратическое значение), рав­ное (LSB) /

• не коррелирован с самим сигналом.

4.5.4 Теория дискретизации по времени

Прежде чем предметом нашего обсуждения станет теория, лежащая в осно­ве взятия выборок, давайте рассмотрим практический пример электронной схемы, с помощью которой осуществляется взятие выборок. В этой схеме время от времени происходит фиксация значения входного сигнала, так что на входе АЦП в течение всего времени преобразования действует постоян­ное напряжение. Такое устройство носит название «схемы выборки и хране­ния». На рис. 4.19 представлена одна из возможных реализаций схемы выбор­ки и хранения. Когда ключ S, с помощью которого осуществляется взятие выборки, находится в положении «0», выходное напряжение повторяет входное напряжениеV_A; схема работает в так называемом «режиме слеже­ния». В усилителе А₁ обратная связь разомкнута, а в усилителе А₂ применена внутренняя обратная связь, так что А₂ = 2; в результате за счет внешней обратной связи коэффициент усиления в целом равен 4: Когда ключ S находится в положении «1», в усилителеA₁, также действует внутрен­няя обратная связь, так что A₁ = 2. Когда ключ S переводится в положение «1», конденсатор С заряжен до напряжения 2V_A. В схеме реализуется режим

4.5 Системы сбора данных 299

«хранения»; выходное напряжение равно 4V_A, где V_A — значение входно­го сигнала в момент времени, когда ключ перебрасывается в нижнее поло­жение (в момент взятия выборки).

На рис. 4.20 изображены синусоидальный входной сигнал V_A, сигнал, которым задаются моменты взятия выборок (значения этого сигнала соот­ветствуют положению ключа S в схеме на рис. 4.19), и результирующий вы­ходной сигнал. Пока S = 0, выходной сигнал повторяет входной сигнал. Когда S = 1, в схеме удерживается последнее значениеV_A, на момент при­нятия сигналом S значения 1. Таким образом, фиксация значения входного сигналаV_Aпроисходит в тот момент времени, когда S переключается из 0 в 1. Поэтому данную схему точнее было бы назвать «схемой слежения и удер­жания».

300 Электронные измерительные системы

К сожалению, схема выборки и хранения вносит временные ошибки и ошибки по величине. Вот почему фактический момент взятия выборки ока­зывается задержанным по отношению к моменту времени, когда процессор посылает соответствующую команду. Кроме того, величина зафиксирован­ного напряжения, удерживаемого на выходе в режиме «хранения», немного отличается от величины входного сигнала в момент фактического взятия выборки (на нарастающем фронте сигнала 5 на рис. 4.20). Эти ошибки пред­ставлены на рис. 4.21 в виде временной диаграммы.

Вслед за тем, как приходит команда «слежение» (S переходит в «0»), имеет место небольшая задержка (время захвата), прежде чем выходной сиг­нал снова станет повторять входной сигнал с точностью, определяемой допуском для коэффициента передачи данной схемы выборки и хранения. Спустя это время задержки, схема оказывается готовой к тому, чтобы снова взять выборку входного сигнала. Следовательно, время захвата является тем минимальным временем (временем холостого хода), которое должно разде­лять команды «слежение» и «удержание», чтобы избежать слишком больших ошибок. Вслед за тем, как приходит команда «удержание» (S переходит в «1»), имеется еще одно время задержки (апертурное время), прежде чем выходной сигнал станет постоянным. Длительность этого отрезка времени не всегда одинакова. Из-за этого возникает погрешность апертурного време­ни. Действительный момент взятия выборки лежит внутри этого интервала неопределенности. Конденсатор в схеме выборки и хранения не удержит зафиксированное значение выборки точно, а будет медленно заряжаться или разряжаться на протяжении того отрезка времени, когда схема нахо­дится в режиме хранения. Это явление носит название «спада» или снижения

4.5 Системы сбора данных 301

величины сигнала. Кроме того, входной сигнал в небольшой степени будет продолжать влиять на выходное напряжение в течение интервала вре­мени, когда схема находится в режиме хранения. Это явление называют «сквозным прохождением» входного сигнала.

Поскольку апертурное время обычно мало, максимальная скорость взя­тия выборок определяется временем захвата и временем преобразования в АЦП. Апертурным временем обусловлена задержка момента взятия выбор­ки, при этом вносится временная ошибка. Из-за апертурной погрешности имеет место неопределенность в моменте фактического взятия выборки. Го­ворят, что происходит дрожание. От погрешности в коэффициенте передачи зависит, насколько большой будет ошибка в значении выборки (при постоянном входном сигнале, когда апертурное время не вносит ошибки). При очень больших отрезках времени, в течение которых схема находится в режиме хранения, мы сталкиваемся с необходимостью учитывать ошибки, обусловленные зависимостью величины сигнала от времени из-за спада на­пряжения на запоминающем конденсаторе.

Теперь мы обратимся к теории, лежащей в основе представления сигна­лов посредством выборок. На временных диаграммах на рис. 4.20 моменты взятия выборок расположены на оси времени не равномерно. Поэтому в дальнейшем мы не сможем восстановить форму входного сигнала. В ряде приложений моменты взятия выборок устанавливаются на оси времени слу­чайно. При таком случайном взятии выборок информация о форме теряется. По случайным выборкам мы можем определить только плотность распреде­ления вероятностей. Таким образом, случайные выборки дают нам статис­тическую информацию о величине входного сигнала. Это означает, что та­ким способом мы можем измерить среднеквадратическое и пиковое значе­ния входного сигнала, определить диапазон принимаемых им значений и т.п., но только не форму сигнала или его спектр.

Во многих случаях взятие выборок сигнала осуществляется в равноотсто­ящие моменты времени. Тогда важно решить вопрос о том, как много выбо­рок необходимо брать в единицу времени, чтобы иметь возможность доста­точно полно описать непрерывный по времени сигнал. Производя взятие выборок, мы не хотим потерять информацию, однако мы не хотим также брать выборки слишком часто. Ответ на этот вопрос дает теорема Шеннона о выборках. В этой теореме утверждается, что для восстановления (без оши­бок) исходного сигнала по его выборочным значениям, взятым через рав­ные промежутки времени, частота взятия выборок f_S должна более, чем вдвое, превосходить частоту f_max самой высокочастотной составляющей, имеющей­ся в непрерывном входном сигнале. Необходимо отметить, что под «вход­ным сигналом» здесь понимается не самый сигнал, являющийся предметом рассмотрения, а сигнал, включающий также все компоненты искажений и шума. Таким образом, в теореме предполагается, что существует такая мак­симальная частота f_max, выше которой спектральная плотность мощности равна нулю.

Чтобы представить себе, что произойдет, если это требование не будет выполнено, рассмотрим частотный спектр, возникающий в результате взя­тия выборок непрерывного по времени сигнала. Ради простоты, речь пойдет

302 Электронные измерительные системы

только о значениях сигнала, представленного посредством выборок, в мо­менты взятия выборок (см. рис. 4.22).

Сигнал, представленный посредством выборок, можно записать как про­изведение аналогового входного сигнала V_A(t) и сигнала S(t), представляю­щего собой последовательность равноотстоящих единичных -импульсов (t – mТ_S). Таким образом, имеем:

где

-функции (t – mT_s) называют также импульсами Дирака. Это функции, которые не равны нулю только в точке t = mT_s, и такие, что площадь под ними, получаемая в результате интегрирования по времени, равна единице (одной секунде). Поскольку сигнал S(t) является периодическим, его мож­но представить в виде ряда Фурье:

Коэффициенты Фурье С_n равны:

Поскольку значения S(t) (на интервале (t, t + Т_S)) не равны нулю только в точках mT_s справедливо следующее равенство:

4.5 Системы сбора данных 303

где m выбрано таким образом, чтобы . Поскольку

преобразование Фурье для имеет вид:

Здесь F(j) — преобразование Фурье от входного сигнала V_A(t). Значе­ния |F(j)| идентичны амплитудному спектру входного сигнала V_A(t), выра­женному в В/Гц. Из нашего вывода следует, что амплитудный спектр сигна­ла, представленного посредством выборок, F(j) равен спектру входного сигнала F(j), умноженному на 1 / Т_S и повторенному симметрично по обе стороны от каждой из частот n_s. Таким образом, как видно из рис. 4.23, спектр сигнала, представленного посредством выборок, является совокуп­ностью бесконечного числа копий низкочастотного спектра входного сиг­нала F(j), располагающихся симметрично относительно частот n_s, кото­рые, в свою очередь, являются гармониками частоты, с которой берутся выборки _s. Любая одна такая копия содержит всю информацию о входном сигнале. Говорят, что при таком повторении спектров происходит их «нало­жение». Нулевая копия лежит в полосе частот, занимаемой спектром исход­ного сигнала , а n-я копия — в окрестности частоты n_s.

Подобное повторение копий спектра происходит также и в том случае, когда процедура взятия выборок не является столь идеальной. Например, при ненулевой длительности импульса, посредством которого осуществля­ется взятие выборки, и даже в том случае, когда выборочное значение удер­живается схемой выборки и хранения в течение всего периода взятия выбо­рок T_s, происходит указанное повторение копий спектра. Правда, копии с большими номерами являются при этом меньшими по величине, нежели в рассмотренном случае взятия выборок с помощью -функций.

Из рис. 4.23 видно, что пока наибольшая частота входного сигнала f_maxостается меньше половины частотыf_s, с которой берутся выборки, мы имеем возможность восстановить из спектра F(j) спектр исходного сигнала (выбрать нулевую