308 Электронные измерительные системы

при восстановлении, можно свести ошибку исключения к нулю, но тогда будет большой ошибка включения. Таким образом, следует ожидать, что полная ошибка вследствие наложения спектров будет минимальной, если удастся найти определенный баланс между ошибками исключения и ошибками включения. Больше того: можно ожи­дать, что этот минимум будет уменьшаться по мере того, как частота взятия выборок будет расти. Чтобы подвергнуть эти ошибки более пристальному анализу, мы рассмотрим сначала чуть более подробно несколько методов восстановления.

На выходе системы сбора данных ЦАП дает ступенчатое приближение к желаемому аналоговому выходному сигналу, как это показано на рис. 4.27(а). Но в моменты времени, когда цифровой сигнал на входе ЦАП изменяется, на выходе могут возникать паразитные кратковременные выбросы напряже­ния. Поэтому обычно вслед за ЦАП ставят схему выборки и хранения, кото­рая производит взятие выборки тогда, когда переходные процессы на выхо­де ЦАП заканчиваются. В результате получается ЦАП «с защитой от выбро­сов».

Нетрудно представить себе, что сигнал, возникающий на выходе ЦАП с защитой от выбросов, является результатом взятия выборок входного сиг­нала в моменты mT_S с последующим удержанием значения выборки в тече­ние интервала времени Т_s.О таком ЦАП говорят как о «схеме фиксации нулевого порядка». Эта схема осуществляет заполнение (аналогового) вы­ходного напряжения между моментами взятия выборок. Поэтому ее можно считать восстанавливающим или интерполирующим фильтром. Можно по­казать, что передаточная функция H(j) этого фильтра равна:

Здесь — частота взятия выборок. Чтобы получить передаточную функ­цию такого фильтра с фиксацией нулевого порядка, можно воспользовать­ся схемой, представленной на рис 4.26, предположив, что блок S представляет собой

4.5 Системы сбора данных 309

идеальное устройство взятия выборок с использованием -функций, а блок R является схемой фиксации нулевого порядка. На рис. 4.28 приведена частотная характеристика этого восстанавливающего фильтра. Мы видим, что этот фильтр не вносит фазовых искажений; сдвиг фаз изменяет­ся с частотой линейно.

Найдем максимальную мгновенную ошибку, возникающую на выходе такой схемы, для синусоидального сигнала V(t) = A sin(t). Ошибка будет максимальной в точках пересечения нуля. В этом месте скорость изменения сигнала равна dV(t)/dt = А. Но она равна также максимальной ошибке V, деленной на период T_s, с которым берутся выборки. Следовательно, можно считать, что V= AT_s. Тогда максимальная относительная ошибка по величине равна:

Таким образом, применяя для восстановления аналогового сигнала схе­му фиксации нулевого порядка, необходимо брать, по крайней мере, 628 выборок на периоде синусоидального колебания, чтобы максимальная ошиб­ка по величине была меньше 1%. Однако мы уже знаем, что теоретически для безошибочного восстановления достаточно, чтобы частота взятия вы­борок удовлетворяла неравенству: . Столь большое расхождение тес­но связано с тем, что схему фиксации нулевого порядка легко реализовать, но в качестве фильтра она не обеспечивает при этом эффективного восста­новления.

На рис. 4.27(b) приведена временная диаграмма для так называемой «схемы фиксации первого порядка с предсказанием». В этой схеме берутся значения входного сигнала в точках отсчета и по последнему интервалу между сосед­ними выборками производится экстраполяция скорости изменения сигнала.

310. Электронные измерительные системы

Поэтому данную схему называют также «устройством, осуществляющим линейную экстраполяцию». Если такое устройство с линейной экстраполя­цией используется в качестве восстанавливающего фильтра, то его переда­точная функция имеет вид:

Эта передаточная функция также представлена на рис. 4.28. Нетрудно ви­деть, что при таком методе восстановления фактически происходит усиле­ние высокочастотных составляющих и не обеспечивается линейность фазо-частотной характеристики. Большой сдвиг фаз на высоких частотах у восста­навливающих фильтров этого типа приводит к тому, что системы сбора данных, в которых такой фильтр является одним из узлов в петле обратной связи, особенно склонны к самовозбуждению. При таком поведении пере­даточной функции на высоких частотах устойчивость в области нижних ча­стот перестает быть решающим фактором. Производя необходимые вычис­ления, можно получить следующее выражение для максимальной мгновен­ной ошибки по величине в случае синусоидального сигнала:

В схемах фиксации первого порядка (а также в схемах более высокого порядка) ошибка максимальна вблизи пиковых значений синусоидального сигнала. Для получения 1%-ной ошибки нам нужно примерно 63 выборки на период (при синусоидальном сигнале).

На рис. 4.27(с) приведена временная диаграмма, характерная для восста­навливающих схем другого типа, а именно — для линейно интерполирую­щих схем фиксации первого порядка. В такой схеме осуществляется линей­ная интерполяция между соседними выборками, и в моменты отсчета сиг­нал на выходе схемы совпадает с выборочным значением входного сигнала. Это возможно, естественно, только в том случае, когда известны оба гра­ничных значения на концах интервала интерполяции. Поэтому на выходе интерполирующей восстанавливающей схемы сигнал появляется с задерж­кой по отношению ко входному сигналу, по меньшей мере, на один пери­од, с которым берутся выборки Можно показать, что при синусоидальном сигнале максимальная мгновенная ошибка по величине для восстанавлива­ющего фильтра с линейной интерполяцией равна:

4.5 Системы сбора данных 311

Снова, как и выше, ошибка максимальна вблизи пиковых значений сиг­нала. При синусоидальном входном сигнале максимальная ошибка в данном случае становится меньше 1% уже при 16 выборках на период.

Можно реализовать интерполяцию и более высокого порядка. Необходи­мые вычисления обычно производятся внутри процессора, имеющегося в системе сбора данных. Но для этого необходимо, чтобы быстродействие про­цессора было много больше того темпа, в котором берутся выборки на вхо­де системы. В пределах каждого интервала между соседними выборками на входе системы процессор будет вычислять n промежуточных значений. Затем эти значения поступают на выход через ЦАП и, например, через схему фиксации нулевого порядка, которая должна работать с частотой, в n раз большей, чем частота взятия выборок на входе. Может случиться так, что процессор является недостаточно быстрым для этого, либо по каким-то дру­гим причинам, связанным со структурой системы, выполнить интерполя­цию более высокого порядка в самом процессоре нельзя. Но даже в таком случае все же можно осуществить цифровую интерполяцию. Это можно сде­лать с помощью отдельного «постпроцессора». Преобладающую роль в сово­купной ошибке системы сбора данных играет, как правило, ошибка восста­новления. К тому же, рассматриваемая нами здесь интерполяция высокого порядка является разновидностью цифровой фильтрации, у которой нет дрейфа параметров. Поэтому осуществление такой цифровой обработки на заключительной стадии обычно является оправданным. Следует отметить, что у аналоговых электронных восстанавливающих фильтров параметры под­вержены дрейфу. Кроме того, функционирование цифровых фильтров, осу­ществляющих постобработку, не зависит от частоты, с которой следуют выборки; поэтому их не надо настраивать, в отличие от их аналоговых экви­валентов.

Можно в качестве восстанавливающего фильтра использовать тот или иной аналоговый фильтр (например, фильтр Баттерворта). Если условие те­оремы о выборках выполнено (то есть если ), то, в принципе, возможно с помощью фильтра нижних частот идеально (без ошибок) вос­становить входной сигнал при условии, что амплитудно-частотная характе­ристика фильтра остается ровной вплоть до частотыи имеет бесконеч­но крутой спад на этой частоте (то есть в случае, когда фильтр имеет идеаль­ную прямоугольную характеристику), а его фазо-частотная характеристика линейна в тех же пределах. Однако, как мы видели ранее, такой фильтр нельзя осуществить так, чтобы он работал в реальном времени. Действи­тельно, он должен был бы быть так называемым нереализуемым фильтром. В противоречие с принципом причинности реакция фильтра с бесконечно крутым спадом амплитудно-частотной характеристики на скачок должна начинаться ранее того момента, когда этот скачок поступает на вход. Следо­вательно, такие фильтры могут работать только «в автономном режиме». Сначала сигнал записывается или отправляется в линию задержки, после чего становятся известными одновременно не только значение сигнала в

312. Электронные измерительные системы

момент t_i, но также значения сигнала в моменты времени, предшествующие t_i, и значения, которые входной сигнал принимает в будущем. Поэтому та­кие схемы фильтрации реализуемы, как правило, только в форме цифрово­го алгоритма фильтрации в компьютере или в цифровом процессоре.

Мы уже видели, что ошибки вследствие наложения спектров зависят от формы сигнала и вида его спектра. Особенно важной при этом оказывается та часть спектра, которая сосредоточена вблизи частоты / 2. Поскольку при проведении измерений приходится иметь дело с сигналами различного типа, нереально найти ошибки для каждого из этих (обычно не известных заранее) сигналов. Вот почему для оценки точности системы сбора данных чаще всего в качестве тестового сигнала выбирают шум.

На вход системы подается «белый шум» (то есть шум с не зависящей от частоты спектральной плотностью мощности) с нормальным (гауссовым) распределением вероятностей по величине, прошедший через так называе­мый «формирующий фильтр». Этот фильтр является фильтром нижних час­тот, амплитудно-частотная характеристика которого остается ровной до ча­стоты среза и затем падает со скоростью 6n дБ на октаву (то есть зависит от частоты как). Шум на выходе такого фильтра n -го порядка называют обычно «сигналом n-го порядка» с шириной спектра. Опреде­ляют среднеквадратическое значение этого входного сигнала (стандартное отклонение гауссова распределения по величине). Этот тестовый сигнал про­ходит через систему сбора данных с фиксированной частотой взятия выбо­рок и заданными характеристиками фильтра, уменьшающего ошибки вслед­ствие наложения спектров, и восстанавливающего фильтра. Измеряется сред­неквадратическое значение восстановленного сигнала. По выполненным измерениям находят ошибку, вносимую системой сбора данных, и ее зави­симость от частоты взятия выборок, а также от типа и порядка применен­ных фильтров. Эта ошибка является характеристикой, основанной, по су­ществу, на мощности сигнала, а не на максимальной мгновенной ошибке по величине, как мы делали

4.5 Системы сбора данных 313

это для синусоидального сигнала. На рис. 4.29 представлены некоторые результаты для сигналов 2-го (n = 2) и 4-го (n = 4) порядков.

На этих графиках указана зависимость относительной ошибки от от­ношения () частоты взятия выборокк ширине спектра(шумово­го) сигнала на входе системы сбора данных. Здесь— полная ошибка в среднеквадратическом значении восстановленного тестового сигнала. На графике приведена ошибка, вносимая только при восстановлении в пред­положении, что фильтр, уменьшающий ошибки вследствие наложения спек­тров, отсутствует. Вычисляя мощность части тестового сигнала, спектр ко­торой расположен в области высоких частот, можно получить следующее выражение для ошибки при достаточно крутом спаде частотной характери­стики восстанавливающего фильтра:

где n — порядок сигнала, а С — произвольная постоянная.

Из нашего предыдущего рассмотрения нам известно, что ошибки вос­становления могут приводить к большим ошибкам, вносимым системой сбора данных в целом. Давайте теперь примем во внимание другой источник оши­бок, каким является процедура уменьшения ошибок вследствие наложения спектров. Поскольку мы вольны выбирать граничную частоту восстанавли­вающего фильтра (как это имеет место в случае аналоговых фильтров), мы можем оптимизировать систему сбора данных в отношении полной ошибки . На рис. 4.30 показан результат такой оптимизации, достигаемой за счет баланса между ошибками исключения и ошибками включения. В этом част­ном примере, а граничная частота восстанавливающего фильтраизменяется от 0,1до 10. На рис. 4.30 представлен случай, когда в качестве восстанавливающего

314 Электронные измерительные системы

применен фильтр Баттерворта четвертого поряд­ка, а тестовый сигнал второго порядка имеет ширину спектра .

Полная ошибка состоит из ошибки исключенияи ошибки включе­ния, поэтому

При малых значениях мы отфильтровываем слишком большую часть нулевой копии спектра входного сигнала (преобладает ошибка исключе­ния), а при больших значениях, мы оставляем слишком большую часть первой копии спектра (преобладает ошибка включения). Полная ошибка достигает минимума в точке. На рис. 4.29 указаны именно такие минимальные значениядля различных восстанавливающих фильтров и порядков тестового сигнала.