4.5.5 Теория восстановления

В предыдущих разделах мы увидели, что в результате взятия выборок из ана­логового сигнала V_A(t)мы получаем дискретный по времени сигнал. Это необходимо делать, поскольку процессор способен воспринимать и выда­вать информацию только в дискретные моменты времени; в системе сбора данных со стороны входа должно находиться устройство взятия выборок. На выходе системы сбора данных этот дискретный по времени сигнал необхо­димо снова преобразовать в непрерывный по времени сигнал, чтобы выход­ной сигнал был аналоговым. Это преобразование выполняется «восстанав­ливающим» или «интерполирующим» фильтром. Во временной области взя­тие выборок делает аналоговый (или непрерывный по времени) сигнал дис­кретным по времени, тогда как в результате восстановления этот дискрет­ный по времени сигнал снова становится непрерывным по времени. В час­тотной области в результате взятия выборок возникают многократные (вто­ричные) копии спектра входного сигнала, тогда как в результате восста­новления эти высокочастотные копии устраняются, и остается только ис­ходный (первичный) спектр. Поскольку наше внимание сосредоточено здесь на ошибках и погрешностях в системе сбора данных (на том, как их избе­жать), удобно не принимать во внимание полезную работу, которую выпол­няет процессор с цифровым сигналом. Поэтому мы предположим, что ко­эффициент передачи цифрового процессора равен единице; другими словами, мы сделаем вид, что в системе сбора данных процессора нет. Тогда мы придем к модели системы сбора данных, представленной на рис. 4.26.

4.5 Системы сбора данных 307

В блоке, помеченном символом S, осуществляется взятие выборок из аналогового входного сигнала V_A(t). В блоке, помеченном символом R, про­изводится восстановление сигнала VA'(t), представленного посредством вы­борок. Если бы мы выполняли взятие выборок и восстановление идеально, то результат восстановления был бы точной копией входного сигнала: V_A"(t) = V_A(t). Поэтому идеальное восстановление представляет собой опера­цию, в точности обратную идеальному взятию выборок! Однако в общем случае при выполнении обеих операций вносятся ошибки. Ошибки, возни­кающие в результате взятия выборок, рассмотрены в предыдущем разделе. Чтобы избежать ошибок вследствие наложения спектров, применяется «пред­шествующая взятию выборок» фильтрация. На практике такой фильтр все­гда отбрасывает часть полезного сигнала, создавая тем самым «ошибки ис­ключения». Когда происходит восстановление, также отбрасываются хвосты спектра, выходящие за пределы основной полосы частот. При этом также вносятся ошибки исключения.

Из рис. 4.24(а) видно, что ошибки исключения определяются теми со­ставляющими спектра в окрестности нуля, которые выходят за пределы интервала ; они отфильтровываются. В системе сбора данных возникают также «ошибки включения». Они являются следствием невозмож­ности полностью отфильтровать на стадии восстановления компоненты пер­вой копии спектра исходного сигнала. В ситуации, изображенной на рис. 4.24(а), эта ошибка возникает из-за тех компонент первой копии, которые оказываются в интервале. Ошибки исключения и ошибки включения определяются заштрихованными областями на этом рисунке. Объединенные вместе эти ошибки образуют полную «ошибку из-за наложе­ния спектров». Поэтому можно утверждать, что для хорошего восстановле­нияV_A(t)из сигнала, представленного посредством выборок, мы должны в возможно большей степени уменьшить ошибки исключения и ошибки вклю­чения, стараясь свести их к нулю. Из предыдущего рассмотрения следует, что посредством «предшествующей взятию выборок» фильтрации можно сделать «ошибки включения» произвольно малыми. Однако при этом «ошибки исключения» очень сильно возрастают. И обратно: не применяя вовсе предварительной фильтрации и фильтрации