122

2.3.3.2 Характеристики измерительных систем

Мы рассмотрим здесь несколько характеристик измерительных систем, ко­торые могут влиять на правильность результата измерения. Если один или большее число параметров, отражающих эти характеристики, не соответ­ствуют требуемым (или заданным) значениям, то при измерении будут про­исходить ошибки.

Чувствительность

Чувствительность S (линейной) измерительной системы — это отношение величины выходного сигнала у к величине входного сигнала х

Чувствительность измерительной системы, вообще говоря, зависит от частоты:S =S().

Чувствительность измерительного усилителя обычно называют усилени­ем, тогда как в отношении (измерительных) систем в общем случае говорят о передаточной функции. Помимо чувствительности иногда используют мас­штабный коэффициент W, равный, по определению,

Вот пример. Высота сетки на экране осциллографа равна 8 см. Электрон­ный луч отклоняется на всю высоту сетки при наличии на входе осциллог­рафа сигнала с полным размахом 40 мВ. Следовательно, чувствительность S составляет 0,2 см/мВ, а масштабный коэффициент W равен 5 мВ/см. Имен­но масштабный коэффициент, как правило, бывает указан для осциллогра­фов.

Когда передаточное соотношение у = f(х), связывающее выходной сиг­нал у (отсчет) и входной сигнал х (величину, которая должна быть измерена), является нелинейным, нельзя говорить о чувствительности, так как отношение выходного сигнала у ко входному сигналу x: меняется в зависи­мости от величины х. Для таких нелинейных систем мы введем дифференци­альную чувствительность. По определению, дифференциальная чувствитель­ность S_diff измерительной системы, описываемой соотношением у = f(x), при входном сигнале х₀ равна

В случае линейной системы S_diff ≠ S_diff (x₀) и S_diff = S . У нелинейной сис­темы S_diff зависит от значения входного сигнала х.

Возьмем, например, нуль-детектор с передаточной функцией у = ах — Ьх³, где а > О и b > 0. Дифференциальная чувствительность такого устройства уменьшается с ростом входного сигнала. Для нуль-детектора особенно важ­но, чтобы дифференциальная чувствительность была высокой при очень малых входных сигналах. Чем больше S_diff (0), тем лучше можно обнаружить выполнение нулевого условия и тем более точным может быть измерение.

Другой мерой чувствительности нелинейной системы служиткоэффици­ент чувствительности. Для измерительной системы с сигналом х на входе и сигналом у на выходе (с передаточным соотношением у = f(x)) коэффици­ент чувствительности определяется как

Само обозначение указывает на то, что данный множитель характе­ризует чувствительность у к изменениям в х В случае линейной системы Sx является плохой мерой чувствительности, так как Sx = 1 , какой бы ни была величина S.

Мы уже имели дело с коэффициентами чувствительности при обсужде­нии вопроса о распространении ошибок измерения (раздел 2.3.2). Другим примером использования коэффициента чувствительности в метрологии является тензодатчик. В этом датчике происходит преобразование изменения длины Δl в изменение сопротивления ΔR Коэффициент чувствительности тензодатчика Sl равен

Отметим, что введенная выше чувствительность системы S является без­размерной только в том случае, когда у и х имеют одинаковую размерность. Это никогда не выполняется, например, в случае датчиков. У дифференци­альной чувствительности S_diff та же размерность, что и у чувствительности S. Однако, коэффициент чувствительности всегда безразмерен.

Порог чувствительности

Невозможно увеличивать чувствительность измерительной системы до бес­конечности (например, путем увеличения коэффициента усиления): идя по этому пути, мы столкнемся с порогом чувствительности.

Порог чувствительности измерительной системы определяется как наи­меньший входной сигнал, который все еще обнаруживается с заданной ве­роятностью правильного решения. Порог чувствительности препятствует обнаружению нами сколь угодно малых сигналов. Это обусловлено тем, что во всякой реализуемой физической системе имеются спонтанные, случай­ные флуктуации (шум), из-за которых малый по величине измеряемый вход­ной сигнал «тонет» в этом (образующем фон) шуме. Шум в измерительной системе может быть обусловлен многими причинами, такими как тепловые колебания (шум резистора) или квантовый характер потока зарядов, масс или носителей энергии через потенциальный барьер (дробовой шум элект­ронов, ионов или фотонов).

Помимо принципиально неизбежных флуктуационных шумов в из­мерительной системе существуют и другие источники возмущений, ко­торые могут затемнять полезный сигнал. Например, механические виб­рации или электрические наводки могут давать настолько большой сиг­нал на выходе, что слабые сигналы, действующие на входе, уже нельзя обнаружить. Такие механические дефекты как трение, люфт или нали­чие мертвой зоны могут приводить к тому, что входной сигнал ниже определенного порога чувствительности не будет приводить к появле­нию сигнала на выходе. Часто простым изменением конструкции изме­рительной системы эти нефундаментальные ограничения можно устра­нить.

Принципиальный предел чувствительности системы определяется слу­чайными флуктуациями внутри этой системы и является существенной характеристикой. В измерительной системе всегда присутствует шум, и он определяет теоретически осуществимый порог чувствительности.

Мы рассмотрим вопрос о пороге чувствительности шумящей измери­тельной системы в предположении, что измеряемая величина х остается постоянной. Пусть шум имеет гауссово распределение. Тогда при х = 0 выход­ной сигнал будет обладать плотностью распределения f_n(x) с у = 0 (см. рис. 2.28). Если ко входу приложен сигнал х ≠ 0, то выходной сигнал будет скла­дываться из желаемого сигнала у и (того же самого) шума. Плотность рас­пределения в этом случае обозначим f_sn(y).

Теперь перед нами стоит важный вопрос: какой величины сигнал х мож­но обнаружить? Другими словами, при каком значении y мы все еще мо­жем отличить наблюдаемую ситуацию от случая, соответствующего x = о и, следовательно, у = 0 ?Ответ на этот вопрос зависит от степени определен­ности, с какой мы хотим знать, спрятан в шуме полезный сигнал или его нет. В постановке задачи нетрудно разобраться, следуя приводимым ниже рассуждениям. Предположим, что среднеквадратическое значение шума на выходе σ (стандартное отклонение распределения f_n(y)) равно n-й части вы­ходного сигнала у . В силу того, что плотность распределения вероятностей

1. (b)

Рис.2.28. Порог чувствительности измерительной системы, подверженной дей­ствию шума, (а) Плотность распределения вероятностей для сигнала на выхо­де системы в отсутствие сигнала на входе (fn(у)) я при его наличии (f_sn(y)). (b) Выходной сигнал как функция времени в случае, когда сигнала на входе нет (х = 0), и в случае, когда на входе действует сигнал, вызывающий появление на выходе постоянного напряжения у .

f_n(y) является четной функцией, мы можем ввести критерий обнаруже­ния, основанный на том, что фактическое значение выходного сигнала у больше или меньше, чем 0,5 у. Представим себе, что у- это выборочное значение выходного сигнала. Тогда нам необходимо иметь возможность сде­лать вывод о наличии сигнала у на основе единственной выборки у. (Когда мы можем позволить себе отложить принятие решения и взять среднее от нескольких выборок, это фактически означает осуществление низкочастот­ной фильтрации. В этом случае вероятность обнаружения значительно возра­стает, так как увеличивается эффективное отношение сигнал/шум.) Если у > 0,5у, то мы делаем вывод, что сигнал на входе присутствует, а если у < 0,5 у, то мы принимаем решение об отсутствии сигнала на входе. На рис. 2.28(b) показан случай, когда берется большое число выборок, как при наличии входного сигнала, так и в его отсутствие. Здесь п примерно равно 3 (у = Зσ). При n=2 темная полоска между двумя изображениями выходного шума на экране осциллографа исчезает. В последнем случае мы уже не мо­жем четко различать эти два изображения; на рис. 2.28(а) показаны соответ­ствующие плотности распределения. Что значит надежность обнаружения в этом случае? Как можно видеть из графика на рис. 2.28(а), при у = 2σ (п = 2) (согласно критерию обнаружения, при котором происходит сравне­ние со значением 0,5 у) заключение, что «входного сигнала нет», будет ошибочным для 16% выборок. Это в точности та часть всей площади под f_sn(y), которая заштрихована. Поэтому доля случаев, в которых обнаружива­ется входной сигнал, порождающий выходной сигнал у = 2 , составляет 84%. Следовательно, с достоверностью 84% можно обнаруживать маскируемое шумом постоянное напряжение, когда среднеквадратическое значение шума равно половине значения этого постоянного напряжения (п =2). Отноше­ние сигнал/шум в данном случае составляет (пσ)²/σ² = п² = 4 Это рассуж­дение показывает, что желаемая степень надежности определяет порог чув­ствительности (значение п).

В табл. 2.3 приведена достоверность или вероятность обнаружения сигна­ла на входе по критерию y > 0,5 y , вычисленная для нескольких значений у .

Табл. 2.3. Вероятность обнаружения и отношение сигнал/шум для раз­личных значений сигнала у в зависимости от соотношения между стандартным отклонением σ и величиной сигнала.

Сигнал у	Вероятность обнаружения	Отношение сигнал/шум
1 σ	69,15%	1
1,4 σ	76,11%	2
2 σ	84,13%	4
3 σ	93,32%	9
4 σ	97,72%	16
5 σ	99,38%	25
6 σ	99,87%	36
8 σ	99,9968%	64
10 σ	99,999971%	100

Общепринятой мерой порога чувствительности является величина вход­ного сигнала, для которого отношение сигнал/шум равно единице. Тогда, в случае шума с нормальным распределением мгновенных значений, вероят­ность обнаружения оказывается равной примерно 70%.

Вприведенном рассмотрении мы хотели выносить решение о наличиисигнала на входе по одному единственному выборочному значению или из­мерению. Порог чувствительности улучшается, когда мы выносим решение на основании нескольких (скажем, п) выборок. Как мы уже видели,

где  - среднеквадратическое значение шума, a σavg - стандартное отклоне­ние среднего от п выборок. Таким образом, в результате усреднения отно­шение сигнал/шум увеличивается в п раз и порог чувствительности соответ­ственно снижается.

Порог чувствительности можно также улучшить, сужая ширину полосы В измерительной системы. В предположении, что шум белый, находим его среднеквадратическое значение σ.

где а₀- эквивалентный шум в полосе 1 Гц. Это означает, что с сокраще­нием полосы В измерительной системы в какое-то число раз, во столько же раз увеличивается отношение сигнал/шум. Соответственно этому снижается порог чувствительности.

В качестве альтернативы нахождению среднего от п отдельных последовательных

выборок мы можем также измерять входной сигнал x(f) непрерывно в течение определенного времени Т.

Среднее по времени значение у_avg выход­ного сигнала измерительной системы y(t) на интервале (t, t + Т) равно:

Теперь можно воспользоваться этим средним, чтобы установить, имеется сигнал на входе или его нет. Чтобы определить результирующее улучшение порога чувствительности, применим теорему Шеннона о выборках, которая звучит так: если у сигнала y(f) нет составляющих на частотах выше, чем В Гц, то этот сигнал полностью определяется выборками, взятыми с интервалом 1 / 2В секунд на отрезке времени Т, много большем чем 1 / В. Число дискретных выборок, описывающих y(t) на отрезке Т секунд, равно 2ТВ. Возьмем среднее от этих 2ТВ выборок. Среднеквадратическое значение шума в сигнале y(t) равно σ = σ ₀√B. Таким образом, стандартное отклонение σ_avg среднего по выборкам из сигнала y(t) на протяжении Т секунд имеет вид:

Следовательно, вычисление среднего на интервале времени Т приводит к увеличению отношения сигнал/шум в 2T раз; порог чувствительности сни­жается в √2Т раз

Подводя итоги, мы можем утверждать, что порог чувствительности — это наименьший сигнал, который можно обнаружить с определенной сте­пенью достоверности на фоне собственного шума измерительной системы. Порог чувствительности зависит от требуемой достоверности и величины шума в измерительной системе. Шум можно уменьшить, применяя измери­тельную систему с меньшей шириной полосы или вычисляя среднее для ряда выборочных значений, полученных в результате измерений, а также путем нахождения среднего по времени при непрерывном измерении на интервале времени Т. Все эти меры требуют затраты большого времени для получения результата; как следствие их применения, отклик измерительной системы становится более медленным, и это является платой за снижение собственного порога чувствительности измерительной системы.

Чувствительность к форме сигнала

Сигнал на входе измерительной системы служит носителем информации о значении физической величины, которая должна быть измерена. Отклик системы на входной сигнал в общем случае зависит от формы (вида или структуры) этого входного сигнала.

Часто классификацию сигналов проводят по следующим признакам. Сиг­нал может быть константой, то есть не зависеть от времени (статический сиг­нал), например, постоянное напряжение или постоянный ток. Обычно сигнал изменяется, но только очень медленно; такой сигнал называют квазистатическим. Однако не менее часто сигнал является функцией

времени (динамичес­кий сигнал). Если сигнал x(t) повторяется во времени каждые Т секунд, то он называется периодическим сигналом с периодом T (для всех t x(t) = x(t +T); см. рис. 2.29(а)). Частота повторения равна f = 1 / Т. Отношение Δt/T для импуль­сных сигналов (см. рис. 2.29(b)), по определению, представляет собой коэффи­циент заполнения. Сигналы с очень малым коэффициентом заполнения (им­пульсы) измерять трудно, и часто они являются причиной сильных наводок на соседние измерительные устройства. Когда зависящий от времени сигнал не является периодическим, его называют одиночным сигналом (одиночной реали­зацией) или неустановившимся сигналом (переходным процессом). Примерами таких сигналов служат шумовые напряжения и переходные явления, такие как выбросы или звон (затухающие колебания) в системах с переключениями. Как правило, периодические сигналы легче измерять, чем непериодические. В час­тности, поэтому при исследовании переходной характеристики системы усло­вия ее воспроизведения повторяют многократно, получая, таким образом, более легкий для измерения периодический сигнал.

Динамический сигнал можно анализировать как во временной области, так и в частотной области. Наблюдение структуры колебания, например, с помощью осциллографа, осуществляется во временной области, тогда как частотное наполнение (свойства) изучают с помощью спектроанализатора в частотной области.

Следовательно, для однозначного определения того, что такое «чувстви­тельность измерительной системы» в случае динамического сигнала необхо­димо установить, на какую характеристику сигнала реагирует наша измери­тельная система. Другими словами: значение какого параметра сигнала изме­ряется! Применительно к динамическому измерительному сигналу x(t) мож­но указать следующие характерные значения:

• Пиковое значение х_р:

х_р = max|x(t)|.

• Полный размах х_рp:

х_рр = max {x(t)} - min {x(t)}.

Рис 2 29 Периодические сигналы (а) Сложный периодический сигнал обще­го вида (Ь) Импульсный сигнал с коэффициентом заполнения ΔT/T = 1/7

Целесообразно как можно реже использовать пиковое значение и полный размах, так как оба они очень чувствительны к возмущениям типа шума, накладывающегося на полезный сигнал. Большие ошибки в x_p и x_pp возника­ют также из-за нелинейных искажений сигнала. Значительно менее чувстви­тельными к искажениям и помехам являются следующие параметры сигнала:

Среднее по времени значениехavg :

Среднее значение периодического сигнала находят на интервале време­ни, в который укладывается целое число периодов: Т = п/f, п — целое. Среднее значение синусоидального сигнала равно нулю.

Среднее значение от абсолютной величины |x|avg

Когда говорят о среднем значении синусоидального сигнала, обычно имеют в

виду среднее значение абсолютной величины синусоидального колебания. - Действующее значение xRMS

Сейчас будет показано, что применение действующего значения в качестве характеристики измерительного сигнала полезно. Мгновенная мощность p(t), рассеиваемая на резисторе R приложенным к нему измерительным

сигналом x(t), равна

Здесь i(t) — ток, текущий по резистору R Средняя мощность, рассеива­емая на резисторе за время Т, равна

Cледовательно, воспользовавшись действующими значениями напряже­ния и тока, мы легко можем найти (среднее) значение мощности, рассеи­ваемой измерительным сигналом. Очевидно, что можно также принять, по определению, что среднеквадратические значения напряжения и тока —

это такие величины постоянного напряжения и постоянного тока, при ко­торых в резисторе переходит в тепло такое же количество энергии, какое рассеивается в нем при воздействии измеряемых напряжения или тока (теп­ловое определение действующего значения).

При построении измерительной системы решают вопрос о том, на какое характерное значение сигнала будет реагировать система. Измерительная сис­тема может воспроизводить мгновенные значения сигнала (осциллограф), от­кликаться на среднее значение (измеритель с подвижной катушкой), реаги­ровать на среднее значение от абсолютной величины (измеритель с подвиж­ной катушкой, снабженный выпрямителем/усилителем) или быть чувстви­тельной к среднеквадратическому значению (электродинамический вольтметр).

Для синусоидального сигнала x(t) = asin(wt), изображенного на рис. 2.30, значения перечисленных параметров равны:

Отношение xRMS/|x|_avg называют коэффициентом формы сигнала x(t), а отно­шение хp/x_kms — коэффициентом амплитуды этого сигнала (его пик-фактором). Для синусоидального колебания коэффициент формы равен 1,11, а пик-фактор — √2 . Коэффициент формы важен в том случае, когда измерительная система проградуирована в действующих значениях (для синусоидального колебания), а фактически ею измеряется среднее значение от абсолютной величины. Именно так обстоит дело во многих электронных вольтметрах. Пик-фактор важен при измерениях шумовых и импульсных сигналов. Часто бывает желательно знать действующее значение таких сигналов, однако при этом необходимо, чтобы пиковые значения сигналов оставались в линейном диапазоне системы; только в этом случае мы избежим ошибок измерения, обусловленных насыщением.

Разрешающая способность

Разрешающая способность (разрешение) измерительной системы — это раз­мер шага, на который может быть настроена система, или шага, с которым на индикатор выводится результат действия системы. По определению, раз­решающая способность — это наименьший интервал х значения измеряе­мой величины х, который все еще вызывает изменение результата измере­ния у. Численно разрешающая способность R выражается в виде:

Рис. 2.30. Полный размах х_pp, действующее значение х_rms, и среднее значение от абсолютной величины |x|avg сигнала синусоидальной формы.

Иногда речь идет о максимальном значении разрешения. Оно достигает­ся при максимальной величине х, которая может быть измерена с помощью этой системы без насыщения, искажений и перегрузки:

Разрешающая способность R имеет конечное значение для всех систем, в которых результат измерения не увеличивается непрерывно с ростом изме­ряемой величины х. Примером таких систем являются механическая изме­рительная система с люфтом и трением покоя, проволочный потенцио­метр, ступенчатый аттенюатор и цифровой индикатор; во всех этих случаях выходная величина у не растет непрерывно с увеличением входного воздей­ствия, а меняется малыми скачками у.

Если разрешение системы конечно, то результат измерений оказывается квантованным; при этом возникает ошибка квантования. Ошибки, являю­щиеся следствием квантованности результата измерения, можно разделить на ошибки усечения и ошибки округления Ошибка усечения происходит в том случае, когда в системе не принимаются во внимание десятичные знаки справа от младшего указываемого десятичного разряда: остаток просто опус­кают. Обычно это имеет место в алфавитно-цифровых индикаторах, напри­мер, в цифровом вольтметре. Величина допускаемой при этом ошибки рав­на х / х, то есть отношению наименьшего возможного шага х к воспроиз­водимой на индикаторе величине х. Ошибка округления происходит в том случае, когда в наименьшем указываемом десятичном разряде учитывается остаток путем округления до ближайшего значения в этом разряде При этом ошибка равна х /2х, то есть половине наименьшего шага, деленной на индицируемое значение. Если при проведении нуль-измерения мы приме­ним эталон, который можно подстраивать только в ступенчатом режиме, и будем изменять задаваемую эталоном величину до тех пор, пока нуль-орган не покажет наименьший отсчёт, то будет иметь место ошибка округления.