2.1 Единицы, системы единиц и эталоны

При измерении отношения мы имеем возможность сопоставить характерис­тику неизвестной физической величины с характеристикой известной фи­зической величины той же размерности. Известная характеристика той ве­личины, к которой мы обращаемся при измерении, называется мерой. При­менительно к кардинальным измерениям имеется принятый в международ­ном масштабе стандарт меры, которая, ради простоты, принята равной еди­нице. Поэтому в случае кардинальных измерений мера задает единичное зна­чение измеряемой величины. Таким образом, результат кардинального изме­рения скалярной физической величины можно записать как

величина = {значение} [единица] х={х} [х].

Тогда для векторной физической величины справедливо равенство х = {х}[x]e.

24 Измерение физических величин

Здесь е — единичный вектор (указывающий то же направление, что и вектор х), содержащий безразмерную информацию о направлении вектора х по отношению к произвольно выбранной системе координат.

Существует взаимосвязь между физическими величинами различной раз­мерности в форме определений и законов природы. Эта связь между разно­образными физическими величинами устанавливается математическими соотношениями. Подобное соотношение может иметь, например, такой вид:

Х=fA^aB^bC^c,

где числовой множитель f в общем случае не равен 1. Единицы [A],[B] и [С] в этом выражении определяют новую единицу [х]. Приведенное выше соотношение между величинами можно разделить на два соотношения: чис­ловое соотношение

{x}=f{A}^a{B}^b{C}^c…,

содержащее только значения различных физических величин, и соотно­шение размерностей

[x]=[A]^a[B]^b[C]^c…,

содержащее только единицы измерения этих величин. Например, ра­венство Е=½mv² с m=1кг и v=10 м/с в числовом выражении имеет вид:

{Е}=½{т}{v}²=½1(10)², а в отношении размерностей справедливой ока­зывается запись: [E]=[m]•[v]²=[m]•[l/t]²кг м²/c².

Если единицы, входящие в соотношение размерностей, выбраны так, что никакого другого числового множителя, кроме 1, не требуется, как это имеет место в приведенном примере, единицы измерения называются со­гласованными (когерентными) по отношению к исходному уравнению для рассматриваемых величин. Можно придумать систему единиц, которая будет целиком согласованной. Недостаток такой системы заключается в том, что некоторые из производных единиц становятся слишком большими по срав­нению со значениями, встречающимися на практике, и это неудобно. При­мером подобной единицы является фарада, единица емкости в междуна­родной системе единиц. Наибольшее значение емкости у технически осуще­ствимых конденсаторов составляет порядка 10^-3 фарады. По этой причине часто применяют такие десятичные приставки, как мега-, кило-, милли-, микро- и т. д. (см. приложение А. 1).

Если k — число независимых соотношений между физическими величи­нами, описывающих ту или иную область физики (например, термодина­мику, механику или электромагнетизм), а п — число различных величин, то n-k из них можно выбрать произвольно в качестве основных величин подхо­дящей для этой области физики системы единиц. Остальные величины будут производными: их единицы измерения следуют из единиц измерения основ­ных величин и из упомянутых k соотношений. Основные величины, по определению, оказываются привязанными к соответствующим физическим стан­дартам (см. приложение А. 1).

2.1 Единицы, системы единиц и эталоны 25

Отнесение той или иной величины к числу основных (с соответствую­щей основной единицей измерения) обуславливается легкостью измерения этой величины, логической структурой системы единиц и простотой реали­зации физических стандартов. Число основных величин п — k зависит от полного числа величин п и от числа k физических соотношений, которые считаются независимыми. Например, в механике можно выбрать в качестве основной величины силу F, а также величины длины l, массы т и времени t. Но это приведет к тому, что соотношение, которое мы обычно записываем как F=та, примет вид F=та. Здесь с - постоянная определенной физичес­кой размерности: [с] =[F][t²]/[m][l].

Можно также выбрать в качестве основных меньшее число величин, на­пример, только l и t, а не l,т и t, как это делается обычно. Тогда размерность массы и силы будет определяться соотношениями F=с₁та и F=c₂mm₂/r², где с₁ и с₂ — числовые постоянные. Это приводит к следующим размерностям массы и силы: [m]=[l]³/ [t]² и [F]=[l]⁴/[t]⁴.

Мы видим, что выбор «слишком большого» числа основных величин приводит к размерным постоянным в базовых соотношениях. При выборе минимального числа основных величин возникают числовые постоянные, которые принимают единичные значения в случае, когда система согласо­вана.

Приведенные рассуждения показывают, что каждая производная вели­чина в той или иной степени оказывается произведением основных вели­чин. Соответствующее базовое соотношение указывает, какие именно ос­новные единицы используются, чтобы образовать производную единицу, или, другими словами, какую физическую размерность имеет рассматри­ваемая производная единица. Например, размерность [А] площади А рав­на [l]². Если основными величинами в системе являются l, m, t и I, то раз­мерность [V] электрического потенциала V будет иметь вид: [m][l]²/[I][t]³. Следовательно, анализ размерностей в уравнении служит средством про­верки правильности этого соотношения. Правильное соотношение между физическими величинами должно удовлетворять следующим условиям: размерности левой и правой частей равенства должны быть одинаковы­ми, складываемые или вычитаемые величины должны иметь одинаковую размерность, показатели степени и аргументы математических функций должны быть безразмерными. Возьмем, например, выражение для сред­него по времени (в пределах периода Т) мгновенного значения напряже­ния v(T):

Это равенство приводит к следующему соотношению размерностей: [V_avg]=[t]^-1[v(t)][t]. Выражение v=Ldi/dt дает для размерностей: [v]=[L][I][t]^-1. Показатель экспоненты у экспоненциальной функции, описывающей характеристику полупроводникового диода 1 = 1_S{ехр(qV/kТ)-1}, должен быть

26 Измерение физических величин

безразмерным. Это справедливо, так как k=1,3805х10^-23Дж/К (см. приложе­ние А.1). В равенстве w(t)=vsin(t+) величина  должна быть безразмер­ной, как и слагаемое t, из чего следует, что []=[t]^-1.

Заметим, однако, что из правильности размерностей в равенстве, выра­жающем связь между различными физическими величинами, не следует с необходимостью справедливость самого этого равенства; при выводе этого равенства всё же могла быть допущена ошибка. Правильное соотношение между размерностями является необходимым, но не достаточным, чтобы гарантировать правильность самого физического выражения.

Хотя возможностей при выборе системы единиц много, имеется множе­ство очевидных достоинств применения принятой в международном масш­табе стандартизованной системы единиц. Такой системой является между­народная система единиц СИ (см. приложение А.1). В системе СИ семь ос­новных единиц. Это метр, килограмм и секунда в качестве единиц длины, массы и времени соответственно, ампер как единица электрического тока, кельвин как единица термодинамической температуры, кандела в качестве единицы силы света и, наконец, моль, как единица количества вещества. Кроме того, определены две безразмерные величины: радиан для угловых измерений в двумерном пространстве и стерадиан для измерения телесных углов. Все другие единицы являются производными. Система единиц СИ представляет собой согласованную систему. Она является также рационали­зированной системой, когда множители 2 и 4 появляются только в таких выражениях, в которых подразумевается круговая или сферическая симмет­рия соответственно. Кандела введена для того, чтобы упростить измерение субъективно воспринимаемой интенсивности света. Она связана со стандар­тизованной чувствительностью человеческого глаза. Однако силу света мож­но охарактеризовать также длиной волны и энергией. Так что, в действи­тельности, кандела является лишней единицей. Кандела и производные от неё единицы образуют отдельное подмножество в системе СИ и использу­ются только в фотометрии.

В прошлом параллельно применялись несколько систем единиц, каждая из которых специфична для определенных областей физики. Широко рас­пространенной была система СГС (сантиметр, грамм, секунда). Существо­вали две системы единиц в электротехнике: СГСЭ (электростатическая) и СГСМ (электромагнитная). В системе СГСЭ абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума ₀ не имела размерности и равнялась 1. В этой систе­ме абсолютная магнитная проницаемость ₀ находится по формуле ₀₀с²=1, где с — скорость света в вакууме. Поэтому емкость имеет размерность длины. В системе СГСМ величина ₀ безразмерна и равна 1. К тому же времени относятся гаусс и эрстед, которые все еще используются в качестве единиц измерения индукции и напряженности магнитного поля соответственно. В системе СИ абсолютная магнитная проницаемость принята равной 410^-7 Гн/м, и как следствие этого величина ₀ находится из соотношения ₀=1/₀с², поэтому ₀=8,85410^-12 Ф/м (см. приложение А.1).

Оба термина «единица» и «физическая величина» являются абстрактными понятиями. Чтобы воспользоваться единицей, необходимо иметь реализа­цию этой единицы, то есть физический эталон. Эталон может быть осязаемым воплощением

физической величины, как, например, в случае стан­дартной меры массы — килограмма. Эталон может быть определен также посредством стандартизованной

2.1 Единицы, системы единиц и эталоны 27

измерительной процедуры, в которой при­меняются эталонные методы измерений и калиброванное оборудование. Именно такой является эталонная мера электрического тока, основанная на измерениях по принципу баланса токов. Третья возможность заключается в том, чтобы в качестве физического эталона воспользоваться явлением природы. Например, эталоны длины, времени и электрического потенциала основаны на процессах, происходящих в атомах (см. также приложение А.1).

Эталон определенной физической величины называют первичным, если его можно считать эталоном наивысшей метрологической значимости. В каж­дой стране есть несколько таких первичных эталонов. Эти национальные первичные эталоны, как правило, бывают реализованы, поддерживаются, сохраняются и совершенствуются в государственных лабораториях мер и весов.

В идеальном случае первичные эталоны хранят в неприкосновенности, а измерения основываются на вторичных или даже третичных (рабочих) эта­лонах. Их калибруют по эталонам более высокого уровня (по первичному или вторичному эталону соответственно). Эталон ещё более низкого уровня имеется в каждом приборе, с помощью которого можно выполнить карди­нальное измерение. Поэтому такие приборы необходимо регулярно калиб­ровать, поскольку из-за старения, дрейфа, износа и т. п. встроенный эталон (например, источник опорного напряжения) со временем становится ме­нее точным. Здесь точность определяется как то, посредством чего выража­ется близость значения, даваемого данным эталоном, к значению, даваемо­му первичным эталоном.

В следующих разделах рассмотрены несколько эталонов электрических величин.

Разность электрических потенциалов

На рис. 2.2 показан первичный эталон разности электрических потенциа­лов, снабженный, как обычно, электрохимическим эталонным элементом (нормальным элементом Вестона). При 20^o С напряжение элемента Вестона приблизительно равно 1,01860 В с погрешностью 310^-6 при оптимальных условиях. Эти оптимальные условия заключаются в том, что изменения тем­пературы не превосходят 10^-3 К, отсутствует нагрузка и нет ни вибраций, ни тряски. Элемент должен находиться в вертикальном положении. У элемента Вестона очень длительное тепловое последействие. После того, как элемент был нагрет до 30 °С, ему может понадобиться 6 месяцев, прежде чем напря­жение на нем полностью стабилизируется и не будет отличаться более, чем на 0,3 мкВ от его номинального значения при 20 °С. Кроме того, элемент Вестона будет со временем стареть, что приведет к увеличению его внутрен­него сопротивления (R_i 500 — 1000 Ом) и уменьшению напряжения на нем на несколько микровольт (в течение первых лет).