Раскрытие скобок в правой части дает

квадраты перекрестные произведения

Случайные ошибки dа, db, dс, в общем случае некоррелированы, в ре­зультате чего перекрестные произведения одинаково часто являются поло­жительными и отрицательными, причем положительные и отрицательные значения оказываются примерно одинаковыми по величине. В результате среднее значение суммы этих перекрестных произведений равно нулю:

Если ввести обозначения: то значение σ_x² можно записать как

что и требовалось доказать.

Как следует из вывода гауссова правила распространения ошибок, вид плотности распределения вероятностей для отдельных результатов измере­ний а,b,с, не имеет значения. Поэтому данное правило приложимо также и к случайным ошибкам, распределение которых не является нормальным.

В качестве примера применим правило Гаусса в случае, когда конечный результат измерения равен среднему значению п отдельных результатов из­мерений а_i(i =1, ,n):

Если обозначить среднее всех возможных наблюдений через а , то

и дисперсия σ_a² для каждого из наблюдений примет вид:

Применение правила Гаусса приводит к следующим выражениям для среднего значения и для дисперсии конечного результата х:

_{и или}

58 Измерение физических величин

Последнее соотношение показывает, что при нахождении среднего от n отдельных результатов измерений (со случайными ошибками) одной и той же физической величины, достоверность результирующего измерения рас­тет как корень от числа отдельных измерений.

2.3.3 Источники ошибок

Чтобы в возможно большей степени уменьшить ошибки измерений, полез­но иметь некоторое представление об их источниках. Поэтому мы рассмот­рим сейчас источники возможных ошибок на основе структурной схемы измерения, изображенной на рис. 2.17.

Согласно этой схеме, состоящей из объекта измерения, измерительной системы и наблюдателя, помещенных в определенную окружающую среду, объект и система взаимодействуют друг с другом; объект влияет на измери­тельную систему и наоборот, система оказывает воздействие на объект. Вли­яние объекта на систему желательно. Посредством его осуществляется пере­нос измерительной информации. Вторая из указанных составляющих взаи­модействия нежелательна. Влияние на объект может быть такого рода и ока­зываться в такой степени, что измеряемая величина заметно изменяется. В этом состоит ошибка обратного влияния. Необходимо попытаться согласовать входной каскад измерительной системы (заштрихованный на рис. 2.17) с объектом измерения таким образом, чтобы свести ошибку обратного влия­ния к минимуму. В разделе 2.3.3.1 разбирается вопрос об ошибках, возника­ющих в результате влияния измерительной системы на объект измерения. Там же рассматривается необходимое согласование, уменьшающее это влия­ние.

Рис. 2.17. Взаимодействия измерительной системы с исследуемым объектом, окружающей средой и наблюдателем.

2.3 Теория ошибок 59

На рис. 2.17 показано также взаимодействие между выходом измеритель­ной системы и наблюдателем. Выражение «наблюдатель» употреблено здесь в широком смысле слова, включающем не только регистрацию результатов измерения человеком. «Наблюдателем» может быть человек, но им может быть также и машина. Например, в случае, когда результат измерения ис­пользуется для управления машиной или процессом, эта машина или этот процесс как раз и являются «наблюдателем». Снова, как и выше, взаимо­действие измерительной системы и наблюдателя складывается из желатель­ной и нежелательной составляющих. Воздействие измерительной системы на наблюдателя, то есть передача наблюдателю результата работы измери­тельной системы, очевидно, является желательным. Обратное влияние мо­жет приводить к ошибкам, если характер воздействия наблюдателя на изме­рительную систему и степень этого воздействия оказываются такими, что результат измерения меняется. Вот примеры ошибок такого рода: считыва­ние показаний стрелочного прибора под углом, а не по направлению, пер­пендикулярному к шкале прибора, в результате чего возникает ошибка па­раллакса; нагружающее действие несогласованного (неодушевленного) на­блюдателя на выходные каскады измерительной системы. Чтобы уменьшить ошибки обратного влияния, необходимо осуществить сопряжение выходного каскада измерительной системы с наблюдателем. Этот вопрос обсуждается в разделе 2.3.3.4.

Помимо двух рассмотренных взаимодействий измерительная система на­ходится в двусторонней связи с окружающей средой. Когда характер и сте­пень данного взаимодействия таковы, что окружающая среда существенно влияет на результат работы измерительной системы, это взаимодействие нежелательно, оно вызывает возмущения и помехи. Об этом источнике оши­бок измерения говорят как о возмущающем или «мешающем» воздействии; о нем пойдет речь в разделе 2.3.3.3.

Наконец, четвертым источником ошибок измерения являются (несовер­шенные) характеристики самой измерительной системы. Если характеристи­ки системы не соответствуют требованиям данного измерения, то они приво­дят к тому, что измерения оказываются неправильными. В разделе 2.3.3.2 рас­смотрено несколько важных параметров, подбирая которые можно миними­зировать ошибки измерения такого рода (систематические ошибки). К числу таких параметров относятся полоса пропускания, время отклика и т. д.