2.3.2 Распространение ошибок

Часто конечный результат х последовательности измерений достигается путем выполнения математических операций над рядом измеренных по отдельности физических величин а,b,с,..., так что х =f(а,b,с,...). Ошибки в а,b,с,... вносят, конечно, свой вклад в ошибку в х. Исследование чувствительности х к ошибкам в а,b,с,... называют анализом чувствительности к ошибкам или анализом распро­странения ошибок. Мы обсудим этот вопрос сначала по отношению к система­тическим ошибкам, а затем рассмотрим случайные ошибки.

Систематические ошибки

Пусть а- результат отдельного измерения, а а₀ - истинное значение измеряе­мой физической величины; тогда абсолютная ошибка Δа, по определению, равна

Δа= а- а₀ .

Относительная ошибка Δа/а определяется соотношением:

Если конечный результат х последовательности измерений задается фун­кцией

х=f(а,b,с,...),

где а,b,с,... — значения физических величин с абсолютными ошибками Δа, Δb, Δс,... соответственно, то абсолютная ошибка Δх конечного результата х равна

Δ х=f(а, b, с, ...)-f(а-Δа, b-Δb, с-Δс, ...).

Принимая во внимание только второй член в разложении в ряд Тейлора и пренебрегая всеми членами более высокого порядка, мы можем выраже­ние для Δx записать в виде:

Это выражение справедливо при условии, что малыми являются абсо­лютные ошибки Δа, Δb, Δc,... а также частные производные функции f(а, b, с, …) высших порядков. Другими словами, должны быть малыми кривизна функции f(а, b, c, ...) в точке (а, b, с, …) и принимаемая во внимание окрестность точки (а, b, с, …) (она определяется значениями Δа, Δb, Δc, ...); важным является толь­ко наклон поверхности вблизи f(a, b, с, …).

2.3 Теория ошибок 55

Действительные значения Δа, Δb, Δc, никогда не известны. Обычно ре­зультаты отдельных измерений бывают представлены в виде а ±Δa_max, b ± Δb_max , где Δa_max, Δb_max — максимальные возможные ошибки. В этом случае для максимальной возможной ошибки Δx_max, конечного результата справед­ливо равенство:

Если вклады отдельных слагаемых в правой части этого соотношения равны, то такое измерение называют оптимальным. Обратите внимание: измерение оптимально с точки зрения относительного влияния всех ис­точников ошибок порознь. Оптимальное измерение не обязательно обес­печивает наименьшую возможную полную ошибку. Последнее соотноше­ние можно записать иначе, и тогда мы получим максимальную относи­тельную ошибку:

Вводя обозначения

и т.д.,

имеем:

Множители S_a^х, S_b^x,... называются коэффициентами чувствительности ко­нечного результата х к относительным ошибкам в измеряемых величинах а,b.

Из определения коэффициента чувствительности можно вывести ряд правил, позволяющих значительно упростить вычисления при анализе чув­ствительности к ошибкам. Вот некоторые из этих правил:

Коэффициенты чувствительности служат средством, с помощью кото­рого легко проследить за распространением систематических ошибок при сложении результатов измерений, их перемножении, взятии их отношения и т. д. Если бы ошибки у всех измеряемых величин а,b,с, ) были максимальны и их знаки были такими, что они усугубляли бы влияние друг друга, то приведенные соотношения давали бы не максимальную возможную ошиб­ку, а фактическую ошибку в х.

56 Измерение физических величин

Случайные ошибки

Как мы видели, при наличии случайных ошибок фактически нельзя гово­рить о «максимальной возможной ошибке». Если продолжать измерения в течение достаточно длительного времени, то заведомо произойдут ошибки, превосходящие наибольшую ошибку из тех, которые имели место во всех предыдущих измерениях. Поэтому при анализе распространения случайных ошибок в последовательности измерений лучше пользоваться средними зна­чениямиа и дисперсиями σ_a² результатов отдельных измерений. Предполо­жим снова, что зависимость конечного результата х от ряда измеряемых по­рознь физических величин а,b,с, …, имеет вид:

х=f(а,b,с, …).

Пусть нам известны также значенияа а,b,с, … и σ_a², σ_b², σ_c²,..., найденные по ряду выборочных значений каждой из величин а,b,с, . Тогда

Эти два соотношения вместе образуютгауссово правило распространения ошибок. Это правило позволяет определить среднее значение х и диспер­сию σ_x² конечного результата х, являющегося функцией ряда независимо измеренных величин а,b,с, подверженных действию случайных ошибок.

Доказательство этого правила состоит в следующем. Малые отклонения da, db, dс, вызывают отклонение dх в х, равное

Мы снова пренебрегаем членами высших порядков в разложении в ряд Тейлора так же, как это делалось в случае систематических ошибок. Следо­вательно, последнее равенство справедливо только для малых отклонений и при малой кривизне функциих =f(a,b,с, ) в точке (a, b, с,...). Так как dх есть отклонение х от х , дисперсия σ_x² равна среднему значению (dx)², которое мы обозначим как (dx)² .

Тогда σ_x² можно представить в виде:

2.3 Теория ошибок 57