Правая часть в последнем неравенстве точно равна

Таким образом, при k > 0 имеем

что и требовалось доказать.

52 Измерение физических величин

На рис. 2.15(b) верхний предел для вероятности того, чтох выйдет за пределы интервала (х-kσ, х+ kσ) , показан как функция k. Если плотность распределения f(х) известна, то вероятность выхода х за границы указанного интервала можно вычислить следующим образом, не используя приведен­ную выше оценку сверху, поскольку неравенство Чебышева-Бьенэме всегда дает пессимистический прогноз в отношении верхнего предела.

Разложим левую часть в неравенстве Чебышева-Бьенэме на два слагае­мых:

Сумму в правой части можно переписать в виде:

При равномерном распределении плотность вероятностей равна

при а≤х≤b f(х)=0 вне указанного интервала значений х.

Известно, что при такой плотности распределения вероятнос­тейх =(а + b)/2 и σ=(b-a)/2√3 ; вероятность большого уклонения равна 1- k/√З, что также изображено на рис. 2.15(b). Кроме того, на рис. 2.15(b) показана найденная по таблице вероятность большого уклонения в случае нормального распределения. Таким образом, зная плотность распределения вероятности, можно найти вероятность большого уклонения. Однако даже в том случае, когда распределение неизвестно, мы можем все же указать вер­хний предел. Например, при нормальном распределении вероятность того, что х будет отличаться от среднего более, чем на 2,56σ (k = 2,56), составит 1%. Когда мы не знаем плотность распределения вероятностей, все, что мы можем сделать, это принять значительно больший интервал ошибки; на­пример, ±10 σ (k =10). Это вызвано отсутствием информации о форме рас­пределения случайных ошибок в рассматриваемой процедуре измерения.

Когда говорят «максимально возможная ошибка», обычно имеют в виду отклонение не более, чем на ±3σ, а это означает, что только в 0,28% случа­ев ошибка действительно больше данной величины. Вероятность, равная всего лишь 0,28%, достаточно мала, чтобы в большинстве случаев на такие события не обращать внимания, хотя, строго говоря, мы не можем для случайной ошибки сказать: «предельное значение». Кроме того, нужно иметь в виду следующее: если мы проводим ряд отдельных измерений со случай­ными ошибками в каждом из них и всякий раз допускаем наличие ошибки в пределах ±3 σ, то неопределенность в

2.3 Теория ошибок 53

конечном результате, опирающемся на эти измерения, будет очень большой. В следующем разделе, посвященном распространению ошибок, мы объясним, почему дисперсия σ² является бо­лее полезной характеристикой случайных ошибок.

Иногда употребляют выражение «вероятная случайная ошибка». Под этим подразумевается ширина интервала, содержащего точно половину всех зна­чений, полученных при измерении. Для случайных ошибок с нормальным распределением эта величина равна ±0,67σ .

Рис. 2.16 служит иллюстрацией для случая, когда результаты измерений (выборки) содержат как случайные, так и систематические ошибки. Здесь случайные ошибки распределены по нормальному закону. Истинное значе­ние измеряемой величины равно а. Систематическая ошибка вызывает сдвиг среднего значения выборок, которое равно b. Полная ошибка (при вероят­ности больших уклонений 0,14%) равна сумме систематической ошибки а-b и «максимальной случайной ошибки». Этой полной ошибкой определя­ется погрешность измерения. Неопределенность результата измерения явля­ется мерой разброса между выборками, обусловленного только случайными ошибками. Чаще всего неопределенность соответствует интервалу шириной 3σ, размер которого зависит от плотности распределения вероятностей слу­чайных ошибок. Строго говоря, неопределенность результата измерения за­дается интервалом, в пределах которого истинное значение измеряемой ве­личины находится с заданной доверительной вероятностью.

Мерой степени согласия между результатами последовательно проводи­мых измерений одной и той же физической величины служит повторяе­мость измерений, при этом предполагается, что измерения производятся одним и тем же методом, на одной и той же аппаратуре, при одинаковых рабочих условиях и в течение короткого отрезка времени. Повторяемость определяется неопределенностью измерения. При малой неопределенности повторяемость оказывается высокой. Воспроизводимость результата измере­ния характеризует близость получаемых значений при повторных измерени­ях одной и той же величины, выполняемых при различных условиях и режи­мах работы, или растянутых на длительное время. Поскольку при этом могут вноситься различные систематические ошибки, в общем случае воспроиз­водимость хуже, чем повторяемость.

Рис. 2.16. Случайные и систематические ошибки

54 Измерение физических величин