Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
98
Добавлен:
15.02.2015
Размер:
990.72 Кб
Скачать

2.3.1 Ошибки измерения

Погрешность измерения можно отнести к одной из двух категорий: непра­вильность в действиях и ошибка измерения. Неправильность в действиях воз­никает из-за промаха оператора, действия которого не согласуются с пра­вильной процедурой измерения; примерами таких промахов являются счи­тывание показаний по неправильной шкале, неправильная настройка, пе­регрузка и т. д. Мы не будем далее рассматривать такого рода грубые прома­хи, поскольку их можно полностью избежать, выполняя измерения акку­ратно. Ошибки измерения, в свою очередь, могут быть двух типов: система­тические ошибки и случайные ошибки. На практике ошибки обоих типов при­сутствуют одновременно, но мы в дальнейшем обсудим их порознь.

Систематические ошибки

Когда мы несколько раз измеряем какую-то определенную физическую ве­личину с помощью одной и той же измерительной системы, поддерживая условия измерения неизменными, мы сталкиваемся с наличием ошибок, значение которых раз от раза остается одинаковым. Эти ошибки называются систематическими. Примерами таких ошибок служат ошибки вследствие нагружающего действия или рассогласования, вызываемых влиянием изме­рительной системы на объект испытаний. Другой пример — это ошибки, обусловленные неточным знанием передаточных характеристик системы; это — системные ошибки.

Возникновение систематических ошибок можно проследить, тщательно анализируя весь измерительный тракт от измеряемого объекта до наблюда­теля через измерительную систему. Другой путь выявления таких системати­ческих ошибок состоит в проведении измерения по совершенно другому принципу и с помощью другой аппаратуры (см. параграф 2.2, метод повто­рений). Часто ошибки такого рода можно минимизировать посредством аккуратной калибровки всего измерительного тракта. В случае, когда основной механизм, вызывающий ошибки,

2.3 Теория ошибок 45

известен, для уменьшения ошибки мож­но принять во внимание тот или иной корректирующий фактор.

На рис. 2.12 приведен пример возникновения систематической ошибки из-за того, что объект измерения оказывается нагруженным. Мы хотим из­мерить разность температур VS (разность температур является V-величиной). Внутреннее тепловое сопротивление объекта равно RS а соответствующее сопротивление измерительной системы — Ri. Измерительная система опре­деляет, что температура на ее входе равна Vi, но это не есть температура самого объекта. На самом деле, VS=αVi, где α=(RS+Ri)/Ri. Поэтому изме­ренная температура должна быть скорректирована путем умножения на а.

RS

+ +

VS Vi Ri

,

--

объект измерительная

измерения система

(a) (b)

Рис. 2.12. Коррекция систематической ошибки из-за нагружающего действия или расстройки. (а) Схемная аналогия измерения температуры. (b) Измере­ние температуры мощного транзистора.

В конструкции, изображенной на рис. 2.12(b), Ri равно тепловому сопро­тивлению измерительного пробника при температуре окружающей среды. Если кончик пробника не ровный или не заделан заподлицо в корпус тран­зистора, то возникает дополнительное сопротивление на пути передачи тепла (включенное последовательно со входом измерительной системы, показан­ной на рис. 2.12(а)). Зная размеры и материал, из которого изготовлены от­дельные элементы конструкции, можно оценить Ri и RS. Например, измери­тельный пробник диаметром 2 мм и длиной 3 см может быть изготовлен из нержавеющей стали с тепловым удельным сопротивлением r =1010-2 Км/Вт, (RS  9,5х102 К / Вт), а корпус транзистора — из алюминия r =4,9х10-3 Км/Вт (Ri  1,2 К / Вт).

С самого начала, сразу после того, как измерительный пробник подне­сен к транзистору, должна «зарядиться» тепловая емкость пробника. Наблю­даемая температура будет при этом ниже ее окончательного значения. В рас­смотренном нами случае речь идет об «установившемся режиме», который наступает спустя продолжительное (теоретически бесконечное) время пос­ле того, как мы пробником коснулись транзистора.

46 Измерение физических величин

Случайные ошибки

Случайными являются такие ошибки, которые меняются непредсказуемо от одного измерения к другому при определении одной и той же физической величины с помощью одной и той же аппаратуры при неизменных условиях. Обычно они бывают обусловлены большим числом факторов, которые влия­ют на результат измерения независимо. Мы не можем скорректировать слу­чайные ошибки, так как нам неизвестны их причины и следствием их явля­ются случайные (непредсказуемые) колебания результата измерения. Приме­рами случайных ошибок служат ошибки наблюдателя при считывании пока­заний прибора с аналоговой шкалой (такого, как термометр), ошибки регу­лировки или выравнивания при установке нуля или при настройке измери­тельного прибора (например, при балансировке моста), а также ошибки ок­ругления. Все, о чем мы можем говорить, имея дело со случайными ошибка­ми, это вероятность того, что ошибка будет той или иной величины. К счас­тью, теория вероятностей и статистика дают нам возможность делать опреде­ленные утверждения при наличии случайных ошибок. Можно считать, что как систематические, так и случайные ошибки вызываются сигналом поме­хи, накладывающимся на тот истинный сигнал, который должен быть изме­рен. В отношении случайных ошибок сигнал помехи флуктуирует, тогда как в отношении систематических ошибок этот сигнал является константой с не­известным значением. Первый из этих сигналов должен быть описан в вероят­ностных терминах, а второй — на языке детерминированных величин. К со­жалению, как раз этот детерминистский характер делает задачу обнаружения систематических ошибок более трудной.

Влияние случайных ошибок в каждом частном случае можно уменьшить, осуществляя измерения несколько раз и принимая в качестве конечного результата среднее значение результатов отдельных измерений. Очевидно, что это возможно только тогда, когда измеряемая величина не изменяется на протяжении всех этих измерений. В такой ситуации исключительно важно выполнять измерения быстро. Вычисление среднего никак не влияет на си­стематическую ошибку, которая остается неизменной.Среднее значение x результатов п измерений хi(i =1, ..., п) имеет вид:

Среднееx представляет собой лучшую возможную оценку значения х постоянной физической величины по п результатам измерения (по п выбор­кам, хi, i =(1,... , п), подверженным действию случайных ошибок. Такой вывод можно сделать из того факта, что

2.3 Теория ошибок 47

Таким образом, сумма всех отклоненийхi - x равна нулю. Кроме того, величина

минимальна. Другими словами, минимальными являются рассеяниеx или разброс выборочных значений хi относительно среднего х, что можно по­казать простой подстановкой.

Мерой рассеяниях в окрестности среднего х (которая служит также ме­рой сконцентрированности распределения) является дисперсия x2 , равная, по определению,

Обычно указывается квадратный корень из дисперсии; эта величина на­зывается среднеквадратическим отклонением x. Выборки xi i =(1, ,п), полу­ченные в отдельных измерениях величины х при наличии случайных оши­бок, можно представить на диаграмме в виде столбцов. Чтобы построить такую диаграмму, нам

следует разбить диапазон всех возможных значений х (xmin,xmax), включающий все выборки хi, полученные в измерениях, на не­большие интервалы ширины х, а затем отложить число выборок N(x), по­павших в эти небольшие интервалы (х, х + х), как функцию от х (см. рис. 2.13). Обычно размер мелких интервалов выбирается по правилу

Если n < 25, то лучше определить значение х по правилу Старджеса :

Если ширину интервала х выбрать слишком малой, то «огибающая» диаграммы будет сильно изрезанной. При слишком большом значении х «огибающая» оказывается квантованной слишком грубо и форма распреде­ления проступает не так явно.

Можно построить нормализованную диаграмму, откладывая N(х) / п, а не N(х). Тогда по вертикали указывается относительное число измерений,

N(x) N(x) N(x)

число

отсчетов,

попавших

в интервал

(x,x+x)

x x x

xmin x xmax xmin 0.5 x xmax 2 x

Рис. 2.13. Гистограммы: (а) при правильном выборе ширины интервалов х, на которые разбивается весь диапазон возможных значений х; (b) при слиш­ком малых значениях х; (c) при слишком больших значениях х.

48 Измерение физических величин

результаты которых лежат в данном интервале. В этом случае можно утверж­дать, что теперь по оси ординат отложена вероятность попадания результата измерения в данный интервал. Кроме того, можно произвести нормализа­цию также и по ширине интервала х, откладывая N(х) / пх вместо N(х) / п. Диаграмму, получающуюся в результате нормализации, обычно называют гистограммой.

Если число выборок п растет, а диапазон хmaxхmin остается в ограничен­ных пределах, как это бывает на практике при измерении всех физических величин, то число интервалов, на которые разбивается этот диапазон, и число столбцов в гистограмме, увеличиваются, тогда как ширина одного интервала х уменьшается. При п   огибающая гистограммы переходит в гладкую кривую. Такая (дважды) нормализованная гистограмма носит на­звание плотности распределения вероятностей f(x). По определению,

Это соотношение можно также записать в виде:

Это означает, что f(x)dх есть вероятность того, что значение выборки попадает в интервал между х и х+dх; отсюда и следует название: плотность распределения вероятности. Из последнего равенства следует, что

Интеграл в этом выражении представляет собой сумму всех вероятнос­тей f(x)dx. Он равен вероятности того, что очередная выборка попадет в первый интервал ширины dx, или во второй, или в третий и т. д. Так как результат измерения должен принадлежать одному из этих интервалов, сум­ма должна равняться 1. Последнее соотношение показывает, что единице равна площадь под плотностью распределения вероятностей (что и достига­ется, главным образом, путем двукратной нормализации). Зная плотность распределения вероятностей, (см., например, рис. 2.14), легко найти веро­ятность того, что результат очередного измерения х окажется меньше опре­деленного значения а. Обозначая эту вероятность Р (х < а), получим:

Эта величина в точности равна площади под f(x) слева от линии x= а (см. рис. 2.14.).

2.3 Теория ошибок 49

Рис. 2.14. Плотность распределения вероятностей.

Точно так же при заданной плотности распределенияf(х) можно найти среднее х набора выборочных значений xi;.

Дисперсию можно представить в виде:

Отметим еще раз, что среднеквадратическое отклонение — это квадрат­ный корень из дисперсии:

Если ошибки, содержащиеся в результатах измерений, обусловлены боль­шим числом взаимно независимых событий, то можно доказать, что они распределены по вполне определенному закону: в этом случае распределе­ние вероятностей является нормальным или гауссовым. Доказательство содер­жится в центральной предельной теореме теории вероятностей. Общеприня­то считать, что случайные ошибки измерения имеют нормальное распреде­ление, хотя во многих случаях это не так.

Плотность вероятности нормального распределения имеет вид:

график такого распределения показан на рис. 2.15(а). Вероятности того, чтоx<x-a или x>x+a, выражаются следующими интегралами, соответственно:

и

50 Измерение физических величин

эти интегралы нельзя представить с помощью элементарных функций.

Рис. 2.15. (а) Нормальное или гауссово распределение. (b) Вероятность отклонения результата измерения от среднего значения x более, чем на k.

Примеры найденных численно приближенных значений этих интегралов представлены в табл. 2.1.

Табл.2.1. Вероятность того, что результат измерения х, имеющий гауссово распределение со средним значением х и среднеквадратическим отклонением , лежит вне интервалов шириной 1, 2 и 3 с центром в точке х.

х находится вне интервала Вероятность

(x-, x+ ) 0,32

( x-2, x+2 ) 0,045

( x-3, x+3 ) 0,0026

Когда измерения подвержены действию случайных ошибок, нельзя указать конечный интервал в окрестности результата измерения, про который можно было бы с абсолютной уверенностью утверждать, что он содержит истинное значение измеряемой величины. Поэтому выражение «максимально возможная ошибка» применимо только к систематическим ошибкам. Но даже с учетом этого результата измерений часто сопровождаются указанием интервала ошибки. Однако при этом существует ненулевая вероятность того, что истинное значение лежит вне этого интервала; это - « вероятность большого уклонения». Эта вероятность, очевидно, зависит от ширины интервала ошибки и от размытости плотности распределения вероятностей. Она растет по мере того, как интервал ошибки становится более узким, а плотность распределения расплывается. Можно, однако, найти верхний пре­дел для этой вероятности. Этот верхний предел не зависит от формы плот­ности распределения вероятностей и справедлив для любых результатов из­мерений, подверженных действию случайных ошибок с заданным (конеч­ным) средним

2.3 Теория ошибок 51

значениемх и среднеквадратичным отклонением σ. Он уста­навливается неравенством Чебышева-Бьенэме:

(k действительно и k > 0).

Это неравенство утверждает, что существует верхний предел 1/k2 для вероятности того, что результат измерения х при наличии случайных оши­бок отклонится от среднего значения х более, чем на величину kσ. При 0 < k ≤ 1 неравенство оказывается тривиальным.

Чтобы доказать это неравенство, вспомним выражение для дисперсии:

Последнее неравенство с очевидностью следует из того, что

при k≥0.

Но(х-x)2k2σ2 при х≤x- и х≥х+kσ. Следовательно, множи­тель (х-х)2 в подинтегральных выражениях можно заменить меньшим зна­чением k2σ2, и поэтому

Соседние файлы в папке Конспект по Метрологии