
- •Предисловие к изданию на русском языке
- •В. Т. Долгополов
- •Май 1995
- •1 Основные принципы измерений
- •Основные принципы измерений
- •1.2 Зачем мы измеряем?
- •1.3 Теория измерений
- •1.4 Измерение нефизических величин
- •2 Измерение физических величин
- •2.1 Единицы, системы единиц и эталоны
- •Для эталонов более низкого порядка достаточны зенеровские опорные
- •2.2 Методы измерений
- •1 Когерентные выборки
- •2 Случайные выборки
- •3 Мультиплексирование
- •2.3 Теория ошибок
- •2.3.1 Ошибки измерения
- •Правая часть в последнем неравенстве точно равна
- •2.3.2 Распространение ошибок
- •Вводя обозначения
- •Раскрытие скобок в правой части дает
- •2.3.3 Источники ошибок
- •2.3.3.1 Обратное влияние на измеряемый объект: согласование
- •Анэнергетическое согласование
2.3.1 Ошибки измерения
Погрешность измерения можно отнести к одной из двух категорий: неправильность в действиях и ошибка измерения. Неправильность в действиях возникает из-за промаха оператора, действия которого не согласуются с правильной процедурой измерения; примерами таких промахов являются считывание показаний по неправильной шкале, неправильная настройка, перегрузка и т. д. Мы не будем далее рассматривать такого рода грубые промахи, поскольку их можно полностью избежать, выполняя измерения аккуратно. Ошибки измерения, в свою очередь, могут быть двух типов: систематические ошибки и случайные ошибки. На практике ошибки обоих типов присутствуют одновременно, но мы в дальнейшем обсудим их порознь.
Систематические ошибки
Когда мы несколько раз измеряем какую-то определенную физическую величину с помощью одной и той же измерительной системы, поддерживая условия измерения неизменными, мы сталкиваемся с наличием ошибок, значение которых раз от раза остается одинаковым. Эти ошибки называются систематическими. Примерами таких ошибок служат ошибки вследствие нагружающего действия или рассогласования, вызываемых влиянием измерительной системы на объект испытаний. Другой пример — это ошибки, обусловленные неточным знанием передаточных характеристик системы; это — системные ошибки.
Возникновение систематических ошибок можно проследить, тщательно анализируя весь измерительный тракт от измеряемого объекта до наблюдателя через измерительную систему. Другой путь выявления таких систематических ошибок состоит в проведении измерения по совершенно другому принципу и с помощью другой аппаратуры (см. параграф 2.2, метод повторений). Часто ошибки такого рода можно минимизировать посредством аккуратной калибровки всего измерительного тракта. В случае, когда основной механизм, вызывающий ошибки,
2.3 Теория ошибок 45
известен, для уменьшения ошибки можно принять во внимание тот или иной корректирующий фактор.
На рис. 2.12 приведен пример возникновения систематической ошибки из-за того, что объект измерения оказывается нагруженным. Мы хотим измерить разность температур VS (разность температур является V-величиной). Внутреннее тепловое сопротивление объекта равно RS а соответствующее сопротивление измерительной системы — Ri. Измерительная система определяет, что температура на ее входе равна Vi, но это не есть температура самого объекта. На самом деле, VS=αVi, где α=(RS+Ri)/Ri. Поэтому измеренная температура должна быть скорректирована путем умножения на а.
RS
+ +
VS Vi Ri
,
--
объект измерительная
измерения система
(a) (b)
Рис. 2.12. Коррекция систематической ошибки из-за нагружающего действия или расстройки. (а) Схемная аналогия измерения температуры. (b) Измерение температуры мощного транзистора.
В конструкции, изображенной на рис. 2.12(b), Ri равно тепловому сопротивлению измерительного пробника при температуре окружающей среды. Если кончик пробника не ровный или не заделан заподлицо в корпус транзистора, то возникает дополнительное сопротивление на пути передачи тепла (включенное последовательно со входом измерительной системы, показанной на рис. 2.12(а)). Зная размеры и материал, из которого изготовлены отдельные элементы конструкции, можно оценить Ri и RS. Например, измерительный пробник диаметром 2 мм и длиной 3 см может быть изготовлен из нержавеющей стали с тепловым удельным сопротивлением r =1010-2 Км/Вт, (RS 9,5х102 К / Вт), а корпус транзистора — из алюминия r =4,9х10-3 Км/Вт (Ri 1,2 К / Вт).
С самого начала, сразу после того, как измерительный пробник поднесен к транзистору, должна «зарядиться» тепловая емкость пробника. Наблюдаемая температура будет при этом ниже ее окончательного значения. В рассмотренном нами случае речь идет об «установившемся режиме», который наступает спустя продолжительное (теоретически бесконечное) время после того, как мы пробником коснулись транзистора.
46 Измерение физических величин
Случайные ошибки
Случайными являются такие ошибки, которые меняются непредсказуемо от одного измерения к другому при определении одной и той же физической величины с помощью одной и той же аппаратуры при неизменных условиях. Обычно они бывают обусловлены большим числом факторов, которые влияют на результат измерения независимо. Мы не можем скорректировать случайные ошибки, так как нам неизвестны их причины и следствием их являются случайные (непредсказуемые) колебания результата измерения. Примерами случайных ошибок служат ошибки наблюдателя при считывании показаний прибора с аналоговой шкалой (такого, как термометр), ошибки регулировки или выравнивания при установке нуля или при настройке измерительного прибора (например, при балансировке моста), а также ошибки округления. Все, о чем мы можем говорить, имея дело со случайными ошибками, это вероятность того, что ошибка будет той или иной величины. К счастью, теория вероятностей и статистика дают нам возможность делать определенные утверждения при наличии случайных ошибок. Можно считать, что как систематические, так и случайные ошибки вызываются сигналом помехи, накладывающимся на тот истинный сигнал, который должен быть измерен. В отношении случайных ошибок сигнал помехи флуктуирует, тогда как в отношении систематических ошибок этот сигнал является константой с неизвестным значением. Первый из этих сигналов должен быть описан в вероятностных терминах, а второй — на языке детерминированных величин. К сожалению, как раз этот детерминистский характер делает задачу обнаружения систематических ошибок более трудной.
Влияние
случайных ошибок в каждом частном
случае можно уменьшить, осуществляя
измерения несколько раз и принимая в
качестве конечного результата среднее
значение результатов отдельных
измерений. Очевидно, что это возможно
только тогда, когда измеряемая величина
не изменяется на протяжении всех этих
измерений. В такой ситуации исключительно
важно выполнять измерения быстро.
Вычисление среднего никак не влияет
на систематическую ошибку, которая
остается неизменной.Среднее
значение x
результатов п
измерений хi(i
=1, ..., п)
имеет вид:
Среднееx
представляет собой лучшую возможную
оценку значения х
постоянной
физической величины по п
результатам измерения (по п
выборкам, хi,
i =(1,... ,
п), подверженным
действию случайных ошибок. Такой вывод
можно сделать из того факта, что
2.3 Теория ошибок 47
Таким
образом, сумма всех отклоненийхi
- x
равна нулю.
Кроме того, величина
минимальна.
Другими словами, минимальными являются
рассеяниеx
или разброс выборочных значений хi
относительно среднего х,
что можно показать простой подстановкой.
Мерой
рассеяниях
в окрестности среднего х
(которая служит также мерой
сконцентрированности распределения)
является дисперсия
x2
, равная, по
определению,
Обычно указывается квадратный корень из дисперсии; эта величина называется среднеквадратическим отклонением x. Выборки xi i =(1, ,п), полученные в отдельных измерениях величины х при наличии случайных ошибок, можно представить на диаграмме в виде столбцов. Чтобы построить такую диаграмму, нам
следует разбить диапазон всех возможных значений х (xmin,xmax), включающий все выборки хi, полученные в измерениях, на небольшие интервалы ширины х, а затем отложить число выборок N(x), попавших в эти небольшие интервалы (х, х + х), как функцию от х (см. рис. 2.13). Обычно размер мелких интервалов выбирается по правилу
Если n < 25, то лучше определить значение х по правилу Старджеса :
Если ширину интервала х выбрать слишком малой, то «огибающая» диаграммы будет сильно изрезанной. При слишком большом значении х «огибающая» оказывается квантованной слишком грубо и форма распределения проступает не так явно.
Можно построить нормализованную диаграмму, откладывая N(х) / п, а не N(х). Тогда по вертикали указывается относительное число измерений,
N(x)
N(x)
N(x)
число
отсчетов,
попавших
в интервал
(x,x+x)
x
x
x
xmin
x
xmax
xmin
0.5 x
xmax
2 x
Рис. 2.13. Гистограммы: (а) при правильном выборе ширины интервалов х, на которые разбивается весь диапазон возможных значений х; (b) при слишком малых значениях х; (c) при слишком больших значениях х.
48 Измерение физических величин
результаты которых лежат в данном интервале. В этом случае можно утверждать, что теперь по оси ординат отложена вероятность попадания результата измерения в данный интервал. Кроме того, можно произвести нормализацию также и по ширине интервала х, откладывая N(х) / пх вместо N(х) / п. Диаграмму, получающуюся в результате нормализации, обычно называют гистограммой.
Если число выборок п растет, а диапазон хmax — хmin остается в ограниченных пределах, как это бывает на практике при измерении всех физических величин, то число интервалов, на которые разбивается этот диапазон, и число столбцов в гистограмме, увеличиваются, тогда как ширина одного интервала х уменьшается. При п огибающая гистограммы переходит в гладкую кривую. Такая (дважды) нормализованная гистограмма носит название плотности распределения вероятностей f(x). По определению,
Это соотношение можно также записать в виде:
Это означает, что f(x)dх есть вероятность того, что значение выборки попадает в интервал между х и х+dх; отсюда и следует название: плотность распределения вероятности. Из последнего равенства следует, что
Интеграл в этом выражении представляет собой сумму всех вероятностей f(x)dx. Он равен вероятности того, что очередная выборка попадет в первый интервал ширины dx, или во второй, или в третий и т. д. Так как результат измерения должен принадлежать одному из этих интервалов, сумма должна равняться 1. Последнее соотношение показывает, что единице равна площадь под плотностью распределения вероятностей (что и достигается, главным образом, путем двукратной нормализации). Зная плотность распределения вероятностей, (см., например, рис. 2.14), легко найти вероятность того, что результат очередного измерения х окажется меньше определенного значения а. Обозначая эту вероятность Р (х < а), получим:
Эта величина в точности равна площади под f(x) слева от линии x= а (см. рис. 2.14.).
2.3 Теория ошибок 49
Рис. 2.14. Плотность распределения вероятностей.
Точно
так же при заданной плотности распределенияf(х)
можно найти среднее х
набора выборочных значений xi;.
Дисперсию можно представить в виде:
Отметим еще раз, что среднеквадратическое отклонение — это квадратный корень из дисперсии:
Если ошибки, содержащиеся в результатах измерений, обусловлены большим числом взаимно независимых событий, то можно доказать, что они распределены по вполне определенному закону: в этом случае распределение вероятностей является нормальным или гауссовым. Доказательство содержится в центральной предельной теореме теории вероятностей. Общепринято считать, что случайные ошибки измерения имеют нормальное распределение, хотя во многих случаях это не так.
Плотность вероятности нормального распределения имеет вид:
график
такого распределения показан на рис.
2.15(а). Вероятности того, чтоx<x-a
или x>x+a,
выражаются следующими интегралами,
соответственно:
и
50 Измерение физических величин
эти интегралы нельзя представить с помощью элементарных функций.
Рис.
2.15. (а) Нормальное или гауссово
распределение. (b)
Вероятность отклонения результата
измерения от среднего значения x
более, чем на k.
Примеры найденных численно приближенных значений этих интегралов представлены в табл. 2.1.
Табл.2.1.
Вероятность
того, что результат измерения х, имеющий
гауссово распределение со средним
значением х и среднеквадратическим
отклонением ,
лежит вне интервалов шириной 1,
2
и 3
с центром в точке х.
х находится вне интервала Вероятность
(x-,
x+
) 0,32
( x-2, x+2 ) 0,045
( x-3, x+3 ) 0,0026
Когда измерения подвержены действию случайных ошибок, нельзя указать конечный интервал в окрестности результата измерения, про который можно было бы с абсолютной уверенностью утверждать, что он содержит истинное значение измеряемой величины. Поэтому выражение «максимально возможная ошибка» применимо только к систематическим ошибкам. Но даже с учетом этого результата измерений часто сопровождаются указанием интервала ошибки. Однако при этом существует ненулевая вероятность того, что истинное значение лежит вне этого интервала; это - « вероятность большого уклонения». Эта вероятность, очевидно, зависит от ширины интервала ошибки и от размытости плотности распределения вероятностей. Она растет по мере того, как интервал ошибки становится более узким, а плотность распределения расплывается. Можно, однако, найти верхний предел для этой вероятности. Этот верхний предел не зависит от формы плотности распределения вероятностей и справедлив для любых результатов измерений, подверженных действию случайных ошибок с заданным (конечным) средним
2.3 Теория ошибок 51
значениемх
и среднеквадратичным отклонением σ.
Он устанавливается неравенством
Чебышева-Бьенэме:
(k действительно и k > 0).
Это неравенство утверждает, что существует верхний предел 1/k2 для вероятности того, что результат измерения х при наличии случайных ошибок отклонится от среднего значения х более, чем на величину kσ. При 0 < k ≤ 1 неравенство оказывается тривиальным.
Чтобы доказать это неравенство, вспомним выражение для дисперсии:
Последнее неравенство с очевидностью следует из того, что
при k≥0.
Но(х-x)2≥k2σ2
при х≤x-kσ
и х≥х+kσ.
Следовательно, множитель (х-х)2
в подинтегральных
выражениях можно заменить меньшим
значением k2σ2,
и поэтому