ТОТ (лекции) / ТМО (лекц_я 14) нестац. тепл

Критерій Фур’є:

де – коефіцієнт температуропровідності.

Критеріальне рівняння процесу теплопровідності має вигляд:

, (5.37)

де – надлишкова поточна температуру в будь-якій точці тіла, відлічувану від температури навколишнього середовища як від нуля; – надлишкова початкова температура тіла; – безрозмірні координати (безрозмірні змінні параметричного типу).

Критеріальне рівняння (5.37) справедливе для всіх подібних процесів теплопровідності.

Моделюванням називають метод експериментального вивчення явища на моделях замість того, щоб проводити експеримент на натуральному об’єкті. Експериментальне дослідження на моделях вимагає менше коштів, а в деяких випадках моделювання є єдиним можливим засобом проведення експериментів.

Розрізняють фізичне й аналогове моделювання. При фізичному моделюванні відповідні величини натури і моделі мають однакову фізичну природу. Фізичне моделювання зберігає особливості проведення експерименту на реальному об’єкті, але значно полегшує одержання необхідних результатів, тому що для моделі вибираються найбільш зручні діапазони зміни фізичних величин, геометричні розміри тощо.

Аналогове моделювання засноване на заміщенні досліджуваного фізичного процесу подібним йому процесом іншої фізичної природи. У той час як фізичне моделювання базується на тому, що явища в натурі і моделі мають однакову фізичну природу і однаковий математичний опис, метод аналогії заснований тільки на однаковому математичному описі. Найбільше поширення в даний час одержали моделі, побудовані на гідравлічній і електричній аналогії процесів.

Гідродинамічна аналогія заснована на тотожності математичних моделей у формальному сенсі, що описують, з одного боку, потенціальний рух ідеальної рідини в невихровому потоці, а з іншого, процес теплопровідності в системі без джерел теплоти. Більше поширення одержали методи, засновані на електричній аналогії.

Запишемо рівняння нестаціонарної теплопровідності:

при 0 < x < і > 0, де – товщина пластини.

Аналогічно записується диференціальне рівняння електричних напруг:

при 0 < ≤ і = 0,

де – електрична напруга; – час; – омічний опір електричної мережі; – електрична ємність; індекс е означає, що зазначені величини відносяться до електричної системи.

У залежності від структури моделюючого середовища моделі-аналоги розділяють на моделі – суцільні середовища, моделі-сітки і комбіновані моделі. На відміну від моделей суцільних середовищ, де кожна точка моделі відповідає точці досліджуваного об’єкта і де поле потенціалів безперервне, у сіткових моделях моделювання здійснюється за допомогою зосереджених параметрів, яким є елементи сітки.

Спільне використання сіткових моделей з ЕОМ означає створення гібридних моделей. На практиці застосовуються комбіновані моделі, що дозволяють поєднати переваги різного типу електричних моделей, а саме моделей суцільних середовищ і сіткових моделей.

Контрольні питання і завдання

У чому особливості рішення прямої і зворотної задач теплопровідності.

Охарактеризуйте нестаціонарні режими теплопровідності?

Що таке лінійні і нелінійні математичні моделі?

Сформулюйте математичну задачу нестаціонарної теплопровідності.

Який фізичний зміст критеріїв Ві і Fо?

Викладіть суть методу поділу змінних, операційного методу, методу інтегральних перетворень.

Приведіть критеріальне рівняння процесу теплопровідності.