Математическая модель

Рассмотрим подводную лодку как материальную точку, которая движется по вертикали на некоторой глубине, с некоторой постоянной скоростью. Лодка удифферентована, то есть силы, которые действуют на лодку по вертикали, как показано на рис.1, (сила тяжести и выталкивающая сила Архимеда) равны по модулю.

По вертикали, на лодку действует сила сопротивления, модуль которой примем в виде:

Где степень и коффициент пропорциональности это некоторые числа, характерные для данной среды, и зависящие от факторов среды, таких как: плотность

Рис. 1 воды, её температура, и величины скорости.[4]

Сила Архимеда, действующая на лодку, зависит от размеров лодки, а именно от её объема, и плотности воды.

В этой формуле – это плотность жидкости, –объем тела, погруженного в жидкость, = 9.81 м / c² – ускорение свободного падения.

Пусть в некоторый момент времени выключены двигатели и сбрасывается балласт. Двигаясь по инерции, а также под действием силы Архимеда, она начнет всплывать по некоторой траектории (рис.2). [2]

Рис. 2

Силу сопротивления мы можем записать так:

,

так как вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории движения, а сила сопротивления имеет противоположное направление.

По второму закону Ньютона:

,

где вектор - это вектор силы тяжести, действующей на лодку. - некоторая функция зависящая от времени. [5]

Запишем это векторное уравнение в проекциях на оси.

В проекции на ось :

где масса - функция зависящая от времени. Решая эту систему для произвольного значения , и заданных начальных условий, мы получим уравнение траектории движения подводной лодки.

Пусть масса лодки изменится мгновенно. - некоторый момент времени, в который вся вода из цистерн вытеснена. Как показано на рис.3, в некоторый момент времени m_воды будет равняться 0, и мы получим , то – есть, вся вода из цистерн будет вытеснена.

В результате выше написанного мы можем привести математическую модель к общему виду для того, что бы решить ее на ЭВМ.

V=V₀+at y=y₀+V₀t+at²/2

F=ma F=-mg+F_a-R

a=F/m R=kV_y²

Компьютерная модель

Для моделирования выберем среду электронной таблицы. В этой среде информационная и математическая модель объединяются в таблицу, которая содержит три области:

- исходные данные;

- промежуточные расчеты;

- результаты.

1. Заполните область исходных данных.

2. Заполните расчетные столбцы A, B, C и D, в которых вычисляются параметры всплытия подводной лодки:

- время;

- скорость;

- масса;

- ускорение.

3. Введите формулы в расчетные ячейки.

Ячейка	Формула
D2	=B1*D4*D1
В9	=B8+C8*$D$3+(D8*$D$3^2)/2
С9	=C8+D8*$D$3
D9	=E9/$B$2
E9	=-$B$2*$D$4+$D$2-$B$4*C9^2