статистика отв / статистика / 17 Аналитическое выравнивание по линейному Тренду

17 Аналитическое выравнивание по линейному Тренду

Становление и развитие эконометрического метода происходили на основе так называемой высшей статистики — на методах парной и множественной регрессии, парной, частной и множественной корреляции, выделения тренда и других компонент временного ряда, на статистическом оценивании.

\, (при линейных трендах).

В общем случае было признано необходимым коррелировать отклонения от трендов (за вычетом циклической компоненты): Еу —у, — %', Ех = х, — %, (у,,% — тренды временных рядов).

Исходя из структуры уровней временного ряда, которые включают тренд (7), конъюнктурный цикл (К), сезонную компоненту (5) и остаточную компоненту (К), можно представить любой динамический ряд как сумму четырех названных составляющих.

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда.

Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции: • линейный тренд: у, = а + Ь • t; • гипербола: yt=a + b/t; s • экспоненциальный тренд: yt = ea+ ; • тренд в форме степенной функции yt = a- f; • парабола второго и более высоких порядков j>,= а + Ь} ¦ t + Ь2 • Р +.

1 Другая формулировка этой формы тренда имеет вид: у, = а • b'.

Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому сравнению скорректированного коэффициента детерминации ли выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации.

Расчет параметров тренда.

Требуется выбрать наилучший тип тренда и определить его параметры.

Значимость каждой из них, конечно, различна: если тренды обоих временных рядов сильно выражены и имеют одинаковую направленность, то соответствующая корреляция получает большое значение; если тренды разнонаправленны, то корреляция может быть более значительной по величине, но отрицательной по знаку; корреляция между остальными компонентами определяется теснотой связи между трендом и конъюнктурными колебаниями, трендом и сезонностью и т.

-----¦----- фактические уровни ряда —¦— уровни ряда, рассчитанные по линейному тренду Рис.

Возможно существование линейного тренда.

Поэтому для моделирования его тенденции в равной мере целесообразно использовать и линейную, и нелинейную функции, например степенной или экспоненциальный тренд.

Он обратил внимание на то, что дисперсии уровней временных рядов также могут быть представлены как многосложные, включающие вариацию тренда, конъюнктурной компоненты, сезонной и остаточной компонент.

Для выявления наилучшего уравнения тренда определим параметры основных видов трендов.

7, согласно данным которой наилучшей является степенная форма тренда, для которой значение скорректированного коэффициента детерминации наиболее высокое.

Уравнение степенного тренда можно использовать как в линеаризованном виде, так и в форме исходной степенной функции после проведения операции потенцирования.

Тип тренда Уравнение Л2 R2

Метод оценки разностей разных порядков во временных рядах для подбора наиболее подходящей степени полинома для описания тренда развивался О.

Параметры линейного тренда можно интерпретировать так: а — начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0; b — средний за период абсолютный прирост уровней ряда.

Расчетные по линейному тренду значения уровней временного ряда определяются двумя способами.

Во-первых, можно последовательно подставлять в найденное уравнение тренда значения / = 1, 2,.

Во-вторых, в соответствии с интерпретацией параметров линейного тренда каждый последующий уровень ряда есть сумма предыдущего уровня и среднего цепного абсолютного прироста, т.

График линейного тренда приведен на рис.

Параметры экспоненциального тренда имеют следующую интерпретацию.

Для нашего примера уравнение экспоненциального тренда в исходной форме имеет вид: или ^=83,96- 1,046'.

Таким образом, начальный уровень ряда в соответствии с уравнением экспоненциального тренда составляет 83,96 (сравните с начальным уровнем 82,66 в линейном тренде), а средний цепной коэффициент роста — 1,046.

По аналогии с линейной моделью расчетные значения уровней ряда по экспоненциальному тренду можно получить как путем подстановки в уравнение тренда значений t— 1,2,.

, я, так и в соответствии с интерпретацией параметров экспоненциального тренда: каждый его последующий уровень есть произведение предыдущего уровня на соответствующий коэффициент роста: уэксп, = ужса0 ¦ 1,046 = 83,96 • 1,046 = 87,82; ;эксп2 = уж™1.

При наличии неявной нелинейной тенденции следует дополнять описанные выше методы выбора наилучшего уравнения тренда качественным анализом динамики изучаемого показателя, с тем чтобы избежать ошибок спецификации при выборе вида тренда.

В случае если уравнение тренда выбрано неверно при больших значениях t, результаты анализа и прогнозирования динамики временного ряда с использованием выбранного уравнения будут недостоверными вследствие ошибки спецификации.

Ошибка спецификации при выборе уравнения тренда

Если наилучшей формой тренда является парабола второго порядка, в то время как на самом деле имеет место линейная тенденция, то при больших / парабола и линейная функция будут по-разному описывать тенденцию в уровнях ряда.

Аналитическое выравнивание уровней (Т+ Е) или (Г- Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.

Для определения параметров тренда а и Ь может использоваться метод наименьших квадратов, только если задан параметр К.

Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т+ Е) с помощью линейного тренда.

Таким образом, имеем следующий линейный тренд: 7=5,715 + 0,186-/.

График уравнения тренда приведен на рис.

Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни (Т- Е).

Уравнение тренда имеет следующий вид: 7=90,59-2,773 ¦ t.

График уравнения тренда приведен на рис.

Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

Для определения трендовой компоненты за каждый квартал воспользуемся уравнением тренда

Уравнение тренда для каждого квартала будет иметь следующий вид: для I квартала: У,= а + b-t + + Ч (5.

В этом случае, начиная с некоторого момента времени /*, происходит изменение характера динамики изучаемого показателя, что приводит к изменению параметров тренда, описывающего эту динамику.

Если структурные изменения незначительно повлияли на характер тенденции ряда у„ то ее можно описать с помощью единого для всей совокупности данных уравнения тренда (на рис.

При построении кусочно-линейной модели происходит снижение остаточной суммы квадратов по сравнению с единым для всей совокупности уравнением тренда.

Построение единого для всей совокупности уравнения тренда, напротив, позволяет сохранить число наблюдений п исходной совокупности, однако остаточная сумма квадратов по этому уравнению будет выше по сравнению с кусочно-линейной моделью.

Очевидно, что выбор одной из двух моделей (кусочно-линейной или единого уравнения тренда) будет зависеть от соотношения между снижением остаточной дисперсии и потерей числа степеней свободы при переходе от единого уравнения регрессии к кусочно-линейной модели.

Уравнение тренда по всей совокупности (3) + ЬЪ1 п с3 ^ ост к> п — к3 = (Я| + + п2)-къ

Тогда сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения тренда к кусочно-линейной модели можно определить следующим образом2:

Ее моделирование следует осуществлять с помощью единого для всей совокупности уравнения тренда.

Эконометрическое исследование включает решение следующих проблем: • качественный анализ связей экономических переменных — выделение зависимых (yj) и независимых переменных (xk); • подбор данных; • спецификация формы связи между у ихк; • оценка параметров модели; • проверка ряда гипотез о свойствах распределения вероятностей для случайной компоненты (гипотезы о средней, дисперсии и ковариации); • анализ мультиколлинеарности объясняющих переменных, оценка ее статистической значимости, выявление переменных, ответственных за мультиколлинеарность; • введение фиктивных переменных; • выявление автокорреляции, лагов; • выявление тренда, циклической и случайной компонент; • проверка остатков на гетероскедастичность; • анализ структуры связей и построение системы одновременных уравнений; • проверка условия идентификации; • оценивание параметров системы одновременных уравнений (двухшаговый и трехшаговый метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия); • моделирование на основе системы временных рядов: проблемы стационарности и коинтеграции; • построение рекурсивных моделей, ARIMA- и VAR- моделей; • проблемы идентификации и оценивания параметров.

9): • изменение численной оценки свободного члена уравнения тренда а2 по сравнению с ах при условии, что различия между Ьх и Ьг статистически незначимы.

Основное его преимущество перед тестом Чоу состоит в том, что нужно построить только одно, а не три уравнения тренда.

Аналитическое выравнивание

Более совершенный метод обработки рядов динамики в целях устранения случайных колебаний и выявления тренда - выравнивание уровней ряда по аналитическим формулам (или аналитическое выравнивание). Суть аналитического выравнивания заключается в замене эмпирических (фактических) уровней уi теоретическими уt, которые рассчитаны по определенному уравнению, принятому за математическую модель тренда, где теоретические ровни рассматриваются как функция времени: yt = f(t).

При этом каждый фактический уровень yt рассматривается как cумма двух составляющих: уi =f(t) +ξt, где f(t)=yt — систематическая составляющая, отражающая тренд и выраженная определенным уравнением, а ξt — случайная величина, вызывающая колебания уровней вокруг тренда.

Задача аналитического выравнивания сводится к следующему:

• определение на основе фактических данных вида (формы) гипотетической функции yt = f(t), способной наиболее адекватно отразить тенденцию развития исследуемого показателя;

• нахождение по эмпирическим данным параметров указанной функции (уравнения);

• расчет по найденному уравнению теоретических (выравненных) уровней.