Inform

21

Пример 5. При Р=2, n=10 и m=6 диапазон чисел простирается примерно от 10-19 до 1019. (Сравните примером 2.3).

Системы счисления, используемые при работе с ЭВМ.

В ВТ применяют позиционные СС с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и др. Для обозначения используемой СС числа заключают в скобки и индексом указывают основание СС:

(15)10 ,(1011)2 ,(735)8 ,(1EA9F)16 .

Иногда скобки опускают и оставляют только индекс:

1510 ,10112 ,7358 ,1EA9F16 .

Есть еще один способ обозначения СС: при помощи латинских букв добавляемых после числа. Например,

15D; 1011 В; 735Q; 1EA9FH.

Двоичная система счисления.

Основание Р=2. Алфавит включает две двоичные цифры: 0, 1. Любое число

C= Cn Cn-1 …C1 C0 C-1 C-m

есть сумма степеней числа Р=2,

C= Cn 2n +Cn-1 2n-1 +…+C1 21 +C0 20 +C-1 2-1 +…+C-m 2-m (1.1) Пример 6. 101011,112 =1 25 + 0 24 + 1 23 + 0 22 +1 21 + 1 20 +1 2-1 + 1 2-2 =

= 32+8+2+1+0,5+0,25=43,7510.

Веса разрядов в двоичной системе счисления равны 1, 4, 8,16,... влево от запятой и

0,5; 0,25; 0,125; 0,625;... вправо от запятой.

Шестнадцатеричная и восьмеричная СС используются при составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов — команд, данных, адресов и операндов.

Для изображения цифр, больших 9, в шестнадцатеричной системе счисления применяются латинские буквы A, B, C, D, E, F. Изображения первых шестнадцати чисел в десятичной, двоичной и шестнадцатеричной системах счисления приведены в таблице 1.

Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных ЭВМ ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами.

Пример 7. Десятичное число 9703 в двоично-десятичной системе выглядит так: 1001 0111 0000 0011.

Таблица 1

Системы счисления

22

Двоичная арифметика

Преимущество двоичной системы счисления над десятичной с точки зрения ЦВМ состоит в следующем:

-требуются элементы с двумя устойчивыми состояниями;

-существенно упрощаются арифметические операции;

-оборудования требуется в 1,5 раза меньше;

-позволяет применить аппарат математической логики для анализа и синтеза схем. Недостатки двоичной системы счисления состоят в следующем:

-большая длина записи чисел;

-при вводе и выводе информации требуется перевод в десятичную систему счисления.

Рассмотрим, как выполняются основные действия в двоичной арифметике.

Правила арифметики во всех позиционных системах счисления одинаковы, т.е. сложение, умножение и вычитание начинают с младших разрядов, деление - со старших.

При сложении единица переноса складывается с цифрами соседнего старшего разряда. При вычитании единица заёма старшего разряда дает две единицы в младшем соседнем разряде.

Пример 8.

Умножение двоичных чисел аналогично умножению десятичных, но т.к. умножаем только на 0 и 1, то умножение сводится к операции сдвига и сложения. Положение точки, отделяющей целую часть от дробной части, определяется так же, как и при умножении десятичных чисел.

Пример 9.

23

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Задача перевода из одной системы счисления в другую часто встречается при программировании и особенно часто — при программировании на языке Ассемблера. Например, при определении адреса ячейки памяти, для получения двоичного или шестнадцатеричного эквивалента десятичного числа. Отдельные стандартные процедуры языков программирования Паскаль, Бейсик, HTML и Си требуют задания параметров в шестнадцатеричной СС. Отыскать неисправность в ЭВМ практически невозможно без представлений о двоичной СС.

Сначала рассмотрим перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную и наоборот. Это наиболее просто в связи с тем, что 16=24 .

Правило 1. Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное надо каждую цифру заменить четырехразрядным двоичным числом. Незначащие нули отбросить.

Пример 10.

305,416 =0011 0000 0101,01002 =1100000101,012

Ещё пример: Перевести число 7D2.ЕН из шестнадцатеричной СС в двоичную СС.

Решение

Переводимое число Результат

Отмеченные крайние нули следует отбросить.

Правило 2. Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную надо число разбить на четверки влево и вправо от запятой. Крайние группы, если необходимо дополнить нулями. Затем каждую четверку двоичных цифр заменить соответствующей шестнадцатеричной цифрой.

Пример 11.

1010111,11011012 =0101 0111,1101 10102 =57,DA16

Ещё пример: перевести число 10111110001.001В из двоичной СС в шестнадцатеричную СС. Решение.

Рассмотрим общие правила перевода чисел из одной системы счисления в другую. Эти правила зависят от того, в какой системе счисления осуществляются арифметические операции, связанные с преобразованием чисел, - в той, в какой представлено исходное число, или в той, в которую оно переводится.

Правило 3.

Задано число С, представленное в системе счисления с основанием S:

C = Cn Cn-1 …C1 C0 C-1 C-m

Нужно перевести его в h-систему, выполняя действия в новой системе счисления (в h-системе).

24

Для этого нужно представить его в виде суммы степеней S : C= Cn Sn +Cn-1 Sn-1 +…+C1 S1 +C0 S0 +C-1 S-1 +…+C-m S-m,

где основание S, коэффициенты c и номера разрядов i выражены в новой h-системе.

Все действия надо выполнять в h-системе.

Пример 12.

1) Перевести 2Е5,А16 в десятичную систему счисления: 2Е5,А16 =2 162 +14 161 +5 160 +10 16-1 =741,62510

2)Перевести 5210 в двоичную систему счисления: 5210=101 10101 +10 10100 =110010+10=1101002

3)Перевести 1101,101 в десятичную систему счисления: 1101,1012 = 1 23 +1 22 +0 21 +1 20 +1 2-1 +0 2-2+1 2-3 =13,62510

Этот способ удобен при S<h и особенно для ручного перевода в десятичную систему

счисления.

Рассмотрим перевод целого числа С (2.2) из S-системы в h-систему в арифметике S- системы счисления.

Правило 4. Для перевода целого числа из S-системы в h-систему счисления в арифметике S-системы нужно последовательно делить это число и получающиеся частные на h до тех пор, пока частное не станет меньше h. Старшей цифрой в новой записи числа будет последнее частное, а следующие за ней цифры дают остатки, вписанные в последовательности, обратной их получению. Все вычисления производятся в старой S-

системе. (При S<h прежде, чем записать число, надо получившиеся остатки переписать в цифры h-системы).

Пример 13.

1) Перевести число 70 в двоичную систему счисления.

70 2

0 35 2

1 17 2

01

2)Перевести 10000000 в десятичную систему счисления

10000000 1010

При переводе наиболее частой ошибкой является неверная запись результата. Запись двоичного числа следует начинать со старшего значащего разряда (СЗР), а заканчивать записью младшего значащего разряда (МЗР). Следует помнить, что при делении первым получается значение МЗР.

В ЭВМ с целью упрощения арифметических операций применяют специальные коды для представления чисел. При помощи этих кодов:

•автоматически определяется знак результата;

•операция вычитания сводится к арифметическому сложению кодов чисел;

•упрощается операционная часть ЭВМ.

25

Прямой , обратный и дополнительный коды чисел

В ЭВМ используется прямой, обратный и дополнительный коды чисел. Знак “+” кодируется нулем (0), “-” - единицей (1), которые записываются в дополнительном старшем разряде - знаковом разряде.

1. Прямой двоичный код Рпр(х) — это такое представление двоичного числа х, при котором знак «плюс» кодируется нулем в старшем разряде числа, а знак «минус» — единицей. При этом старший разряд называется знаковым.

Сложение в прямом коде не вызывает затруднений, когда у слагаемых одинаковые знаки: сложить модули и сумме присвоить знак слагаемых. При вычитании чисел в прямом коде нужно сначала определить больший модуль, от него отнять меньший и результату присвоить знак большего модуля.

2. Обратный код Робр(х) получается из прямого кода по следующему правилу:

Из приведенного выражения видно, что обратный код для положительных чисел совпадает с прямым кодом. Чтобы представить отрицательное двоичное число в обратном коде нужно оставить в знаковом разряде 1, во всех значащих разрядах заменить 1 на 0, а 0 на 1. Такая операция называется инвертированием и обозначается горизонтальной чертой над инвертируемым выражением.

3. Дополнительный код Рдоп(х) образуется следующим образом:

Из выражения видно, что дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом, а для отрицательного числа получается инверсией всех значащих разрядов и добавлением единицы к младшему разряду результата.

Дополнительный код может быть получен из обратного кода путём прибавления 1 к младшему разряду обратного кода (естественно, с учётом переносов между разрядами).

Итак:

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково - двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде.

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.

Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.

Пример 14: Получить обратный код для числа х=-13D.

Решение.

Pпр(x) = (1'1101)2 −прямой код

Pобр(x) = (1'0010)2 −обратный код

Рдоп(x) = (1'0011)2 −дополнительный код

26

Нетрудно доказать, что (по модулю):

•Обратный код от обратного кода дает прямой код числа.

•Дополнительный код от дополнительного кода дает прямой код числа.

Сложение чисел в прямом и дополнительном коде

Можно строго математически доказать следующие правила.

Правило 1. При сложении дополнительных кодов чисел знаковые разряды складываются аналогично остальным, перенос из знакового разряда теряется, результат получается в дополнительном коде.

Правило 2. При сложении чисел в обратном коде знаковые разряды складываются аналогично остальным, перенос из знакового разряда прибавляется к младшему разряду результата (так называемый циклический перенос), результат получается в обратном коде.

Таким образом, применение обратного и дополнительного кода упрощает алгебраическое сложение. Сложение чисел с разными знаками заменяется сложением их соответствующих кодов, знак при этом получается автоматически.

Пример 14.

Aобр + Bобр= 0,10111 +1,10101

10,01100

1 (циклический

Пример 15. Выполнить алгебраическое сложение с использованием дополнительного кода для чисел X1 = 7D и X2 = -3D.

Решение.

Необходимо найти сумму: у = X1 +X2.

Учитывая, что X1 > 0, это число нужно представить в прямом коде, а так как X2< 0, то X2 нужно перевести в дополнительный код.

Так как результат положителен (в знаковом разряде Р(у) - 0), значит, он представлен в прямом коде. После перевода двоичного числа в десятичную СС получим ответ: у = +4D.

Пример 16. Выполнить алгебраическое сложение с использованием дополнительного кода для чисел X1= 8D и X2 = -13D.

Необходимо найти сумму: у = X1 +X2.

Число X1 нужно представить в прямом коде, а X2 — в дополнительном коде.

27

В знаковом разряде стоит единица и, значит, результат получен в дополнительном коде. Для перехода от дополнительного кода

Рдоп(y)=1'1011B

к прямому коду Рпр(у) необходимо выполнить следующие преобразования:

Робр(у) = Рдоп(у) - 1 = 1'1011B - 1 = 1'1010B,

Рпр(у) = Pобр ( y) =1'1010B =1'0101B

Переходя от двоичной СС к десятичной СС, получим ответ: y=-5D.

28

Варианты представления информации в ПК

Как уже упоминалось, вся информация (данные) представлена в виде двоичных кодов. Для удобства работы введены следующие термины, обозначающие совокупности двоичных разрядов (табл.2.2). Эти единицы обычно используются в качестве единиц измерения объемов информации, хранимой или обрабатываемой в ЭВМ.

Таблица 2.2. Двоичные совокупности

Восемь последовательных битов составляют байт. Как правило, код символа хранится в одном байте. Такие кодировки называются однобайтными. В одном байте можно закодировать значение одного символа из 256 возможных (28=256). Примером такой кодировки может служить код ASCII (American Code for Information Interchange –

американский код обмена информацией). В настоящее время все большее применение приобретает двухбайтная кодировка Unicode, в ней коды символов могут иметь значение от 0 до 65535. В этой кодировке имеются коды для практически всех применяемых символов (букв алфавитов разных языков, математических , декоративных символов и т.д.)

Последовательность нескольких битов или байтов часто называют полем данных. Биты в числе (в слове, в поле и т.п.) нумеруются справа налево, начиная с 0-го разряда.

В ПК могут обрабатываться поля постоянной и переменной длины.

Поля постоянной длины:

•слово – 2 байта;

•полуслово – 1 байт;

•двойное слово – 4байта;

•расширенное слово –8байт.

Числа с фиксированной запятой чаще всего имеют формат слова и полуслова, числа с плавающей точкой – формат двойного и расширенного слова.

Поля переменной длины могут иметь любой размер от 0 до 256 байт, но обязательно равный целому числу байтов.

Пример 2.15.

Структурно запись числа –19310=-110000012 в разрядной сетке ПК выглядит следующим образом.

Число с фиксированной запятой формата слово со знаком.

30

• двойственности (или де Моргана) a +b = a b;

a b = a +b;

• двойного отрицания a = a

• поглощения

a + a +b = a; a (a +b) = a

• склеивания a b + a b = a;

(a +b) (a +b) = a.

Программное управление ЭВМ

Структура и виды команд в ЭВМ

Решение задач на ЭВМ реализуется программным способом, т.е. путем выполнения последовательно во времени отдельных операций над информацией, предусмотренной алгоритмом решения задачи.

Алгоритм – это точно определенная последовательность действий, которые необходимо выполнить над исходной информацией, чтобы получить решение задачи. Алгоритм решения задачи, заданный в виде последовательности команд на языке вычислительной машины (в кодах машины), называется машинной программой.

Команда машинной программы (иначе, машинная команда) – это элементарная инструкция машине, выполняемая ею автоматически без каких-либо дополнительных указаний и пояснений.

Машинная команда состоит из двух частей: операционной и адресной. Операционная часть команды – это группа разрядов в команде, предназначенная для

представления кода операции машины.

Адресная часть команды - это группа разрядов в команде, в которой записываются коды адреса (адресов) ячеек памяти машины или иных объектов, задействованных при выполнении команды.

По количеству адресов, записываемых в команде, команды делятся на безадресные, одно-, двух- и трехадресные.

Типовая структура трехадресной команды:

КОП – код операции;

a1 и a2 – адреса ячеек (регистров), где расположены соответственно первое и второе числа, участвующие в операции;

a3 - адрес ячейки(регистра), куда следует поместить число, полученное в результате выполнения операции.

В двухадресной команде a1 и a2 выполняют ту же функцию, что в трехадресной команде. По завершении операции результат помещается в а1.