k.gritsenko701070l

2.2.2 Задача про «дієту»

Деякий раціон складається з n видів продуктів. Відомі вартість одиниці кожного продукту – c j j 1, n , кількість необхідних організму поживних речовин m та потреба

j 1, n . Система обмежень описуватиме забезпечення в раціоні кожної поживної ре-

човини не нижче зазначеного рівня bi i 1, m . Економіко-математична модель матиме вигляд:

Аналогічно як у виробничій задачі, економіко-математична модель задачі про

«дієту» (або про суміш) також може описувати інші економічні процеси. По суті цей тип задач дає змогу знаходити оптимальне поєднання деякого набору компонент в од-

не ціле, причому таке поєднання має задовольняти певні умови.

Приклад 2.4. Стандартом передбачається, що октанове число бензину А-76 має бути не нижчим 76, а вміст сірки — не більшим, ніж 0,3%. Для виготовлення такого бензину на заводі використовуються чотири компоненти. Дані про обсяги запасів ком-

F 40 x1 45 x 2 60 x 3 90 x 4 .

Загалом, економіко-математична модель задачі має вигляд:

x j 0, ( j 1,4 ) .

Приклад 2.5. Учасник експедиції складає рюкзак, і йому необхідно розв’язати пи-

тання про те, які взяти продукти. У розпорядженні є м’ясо, борошно, сухе молоко, цукор.

У рюкзаку залишилось для продуктів лише 45 дм3 об’єму, до того ж необхідно, щоб зага-

льна маса продуктів не перевищувала 35 кг. Лікар експедиції рекомендував, щоб м’яса (за масою) було більше, ніж борошна принаймні удвічі, борошна не менше, ніж молока, а

молока хоча б у вісім разів більше, ніж цукру. Скільки і яких продуктів потрібно поклас-

ти в рюкзак, щоб сумарна калорійність продуктів була найбільшою? Характеристики продуктів наведені в табл.2.2.

Таблиця 2.3 – Характеристики продуктів

Побудова економіко-математичної моделі.

Позначимо через х1, х2, х3, х4 масу (в кг) м’яса, борошна, молока і цукру відпові-

дно.

Сумарна маса продуктів має не перевищувати 35 кг:

x1 x 2 x 3 x 4 35 ,

а об’єм, який вони мають займати, – не більше 45 дм3:

x1 1,5 x 2 2 x 3 x 4 45 .

Крім того, мають виконуватися співвідношення стосовно пропорцій за масою продуктів:

а) м’яса принаймні удвічі більше, ніж борошна, отже:

x1 2 x 2 ;

б) борошна не менше, ніж молока: x 2 x 3 ;

в) молока хоча б у вісім разів більше, ніж цукру: x 3 8 x 4 .

Калорійність всього набору продуктів можна визначити так:

F 1500 x1 5000 x 2 5000 x 3 4000 x 4 .

Отже, економіко-математична модель задачі має вигляд:

x j 0 ( j 1,4 ) .

2.2.3 Транспортна задача

Розглядається m пунктів виробництва та n пунктів споживання деякої однорідної продукції. Відомі обсяги виробництва продукції у кожному i-му пункті – a i i 1, m та

x ij 0 (i 1, m ; j 1, n ).

Як і в двох попередніх задачах математична модель транспортної задачі може ви-

користовуватись і тоді, коли в постановці задачі немає навіть згадки про перевезення

продукції тощо.

Приклад 2.6. Фермерське господарство спеціалізується на вирощуванні ози-

мої пшениці і має три ділянки землі площею S1 = 40 га, S2 = 90 га, S3 = 55 га. Врахо-

вуючи наявну кількість посівного матеріалу, є можливість засіяти всю площу ози-

мою пшеницею трьох сортів. Кількість пшениці сорту «Миронівська-808» забезпе-

чить посів на 80 га, «Безоста-1» – 60 га та «Одеська-51» – 45 га. Урожайність сорту

Необхідно розподілити посівний матеріал за земельними ділянками так, щоб отримати максимальний урожай (валовий збір) озимої пшениці.

Побудова економіко-математичної моделі.

Позначимо через хij площу (га) і-ої земельної ділянки, що буде засіяна j-м сортом озимої пшениці (домовимося, що сорти «Миронівська-808», «Безоста-1», «Одеська-51»

відповідатимуть номерам 1, 2, 3), (і = 1, 2, 3), (j = 1, 2, 3).

Тоді використання земельних угідь описуватиме така система обмежень:

Використання посівного матеріалу формально можна описати так:

Валовий збір зерна розраховується як сума добутків урожайностей відповід-

них сортів пшениці на їх посівні площі, тобто:

F 41 x11 40 x 21 46 x 3138 x12 41 x 22 45 x 3230 x13 28 x 23 40 x 33 .

Отже, економіко-математична модель задачі загалом буде мати вигляд:

max F 41 x11 40 x 21 46 x 31

за умов:

Самостійна робота №2 – Економіко-математичні моделі задач лінійного

програмування

Економіко-математична модель задачі визначення оптимального плану вироб-

ництва. Економіко-математична модель задачі оптимального розподілу виробничих потужностей. Економіко-математична модель задачі оптимального розподілу капіта-

ловкладень. Економіко-математична модель задачі про «дієту». Економіко-

математична модель транспортної задачі. Економіко-математична модель задачі про призначення. Економіко-математична модель задачі комівояжера [3, с.23-36].

3.Наконечний С. І., Савіна С. С. Математичне програмування: Навч. посіб. – К.: КНЕУ, 2003.

–452 с.