Свойства определенного интеграла

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

= , (3)

где — некоторое число.

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

= (4)

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых a, b, c:

= +. (5)

4. Если на отрезке [a, b], где a<b, f(x) g(x), то и , т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.

5. = -(6)

6. Теорема о среднем. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], (где a<b), то найдется такое значение [a, b], что

. (7)

Свойство 6 (теорема о среднем) при f(x) 0 имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором (a, b), площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием b-a. Число

(8)

называется средним значением функции f(x) на отрезке [a, b].

Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница

Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a, b],то, очевидно, она интегрируема также на произвольном отрезке [a, х], вложенном в [a, b].

Положим по определению

Ф(х) = =, (9)

где [a, b], а функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Свойства функции Ф(х) (интеграла с переменным верхним пределом):

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то функция Ф(х) так же непрерывна на [a, b].

Теорема 2. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда в каждой точке х отрезка [a, b] производная функции Ф(х) по переменному пределу равна подынтегральной функции f(x), т.е.

Ф^’(х) = ()^’ = f(x).

Следствие. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то для этой функции существует первообразная на отрезке [a, b].

Формула Ньютона-Лейбница

Опираясь на свойства интеграла с переменным верхним пределом, получили основную формулу интегрального исчисления.

Теорема. Пусть функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и F(x) – любая первообразная для f(x) на [a, b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a, b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.

. (10)

Доказательство: Пусть F(x) – некоторая первообразная для функции f(x). Но по теореме 2 функция Ф(х),заданная формулой Ф(х) = =, также является первообразной для функцииf(x), и найдется такое число C, что F(x) = Ф(x) + C. Тогда для приращения первообразной имеем

F(b) – F(a) = (Ф(b)+C) – (Ф(a)+C) =Ф(b) – Ф(а) = - .

Но . И тогдаF(b) –F(a) = .

Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x); на втором применяется собственно формула Ньютона-Лейбница – находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим, введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений. По определению положим

.

Следует подчеркнуть, что при применении формулы Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x), например, имеющую наиболее простой вид при С=0.