Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим некоторые типы интегралов от тригонометрических функций.
где m,n –постоянные числа.
Здесь применяются формулы:
Примеры.
1.
2.
=
Найти интегралы.
59.
60.
61.
2.
гдеm,n
– любые целые показатели.
Пусть один из показателей – нечетное положительное число, например:
n = 2k+1. Положим sinx=t, тогда cosxdx=dt и
Аналогично, если m=2k+1 (т.е. нечетное), t = cosx и т. д.
Примеры.
1.
Положим sinx = t, тогда cosxdx = dt; получим:
2.
Рекомендация. Если в нечетной степени функция sinx, то обозначать новой переменной следует cosx, а если в нечетной степени cosx, то заменять на sinx.
Если под знаком интеграла стоит произведение четных степеней синуса и косинуса, то, пользуясь формулами:
понижают степени синуса и косинуса и затем интегрируют.
Пример.
=
=
В случае четных степеней часто бывает удобно заменить tg x = t, либо
ctg x = t.
Примеры.
1.
2.
Найти интегралы:
62.
63.
64.
65.
66.
(В №65 помножить числитель и знаменатель на sin x).
Интегралы вида
гдеR
– рациональная функция, сводятся к
интегралам от рациональных функций с
помощью, так называемой универсальной
подстановки:
При этом
Что следует из известных тригонометрических формул:
и
.
Пример.
.
Найти интегралы:
67.
.
68.
.
69.
.
IV.
Интегралы вида
можно вычислить, используя подстановку
;
при этом
,
.
Пример
.
Найти интегралы:
70.
,
71.
.
Заметим, что во многих случаях интеграл от тригонометрической функции может быть вычислен в результате применения подходящих преобразований тригонометрических выражений.
Примеры
1.
,
где
<x<
.
Преобразуем подкоренное выражение, используя формулы
,
:
.
(Воспользовались
тем, что при 0<x<
).
2.
.
Найти интегралы:
72.
.
73.
.
74.
.
75.
.
76*.
.
77*.
.
78*.
.
Рассмотренные примеры позволяют сделать вывод: при интегрировании необходимы изобретательность и навыки, приобретаемые практикой решения большого числа примеров.
Вопросы и задания для самопроверки
Получите формулы: XVI.
.
XVII.
.
Можно ли в случае, когда подстановка cosx=t (или tgx=t) приводит к интегралу от рациональной функции, использовать вместо этих замен подстановку
?
3*. Докажите, что одна из преобразованных четной функции есть функция нечетная, а всякая преобразованная нечетная функция есть функция четная. Приведите примеры.
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование алгебраических и трансцендентных иррациональных функций в некоторых известных случаях сводится к интегрированию рациональных дробей.
I.
Интеграл вида
dx,
где R
– рациональная функция,
,
,…
— рациональные числа, сводится к
интегралу от рациональной функции с
помощью подстановки
,
гдеk-общий
знаменатель дробей
Пример
=
Найти интегралы.
82.
83.
К интегралам от функций, рационально зависящим от тригонометрических функций, сводятся интегралы:
III.
— подстановкой
IV*.
— подстановкой
V*.
— подстановкой
Примеры.
1.
=
При решении
выполнили преобразования: при
2.
=
В решении
использовано:
при
.
-1=
Пусть u = 0; тогда -1 = - B, B = 1.
u = -1; тогда - 1 = 2D, D = -1/2.
u = -1; тогда -1 = -2С, С = 1/2.
Приравняем
коэффициенты при
отсюдаА =
0.
= —
= -
Найти интегралы:
84.
85*.
VI.
Интегралы вида
можно вычислить подстановкой
При этом
Пример.
Найти интегралы:
86.
.
87.
.
Замечание. Не всякая элементарная функция имеет интеграл, выраженный через элементарные функции.
Примеры
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Вышеприведенные интегралы не выражаются суммой конечного числа элементарных функций и называются «не берущимися» интегралами.
Вопросы и задания для самоконтроля
Какие замены переменных можно сделать для нахождения следующих интегралов:
а)
б)*
в)*
г)
?
Можно ли вычислить в элементарных функциях следующие интегралы:
а)
б)
Ответы.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
